6信州大学 2023年 数学 第6問解答・解説

(1) 1のカード2枚、2のカード3枚、3のカード4枚はそれぞれ同じ数字のカードを区別しない。よって、9枚の並べ方は
$$\frac{9!}{2!3!4!}=1260$$
通り。

(2) まず1のカード2枚と2のカード3枚を並べると
$$\frac{5!}{2!3!}=10$$
通りある。その5枚の前後と間には6個の隙間がある。3のカードが隣り合わないためには、異なる4個の隙間を選び、各隙間に1枚ずつ3のカードを入れればよい。したがって
$$10\cdot{}_{6}\mathrm{C}_{4}=150$$
通り。

(3) まず1と2のカードだけを並べる。この列には1の位置を5か所から2か所選ぶので、全部で ${}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$ 列ある。隣り合う同じ数字の組の個数を $r$ とすると、その列は次のように分類される。
$$\begin{array}{c|l|c} r&\text{1と2の列}&\text{列数}\\\hline 0&21212&1\\ 1&12122,\ 12212,\ 21221,\ 22121&4\\ 2&12221,\ 21122,\ 22112&3\\ 3&11222,\ 22211&2 \end{array}$$
同じ数字が隣り合う $r$ か所には、それぞれ3のカードを少なくとも1枚入れる必要がある。全体で3のカードを4枚入れるので、6個の隙間から $r$ か所を先に選び、残る $4-r$ か所を残りの $6-r$ 個から選ぶ。選んだ隙間はすべて異なるため、3のカード同士も隣り合わない。よって求める数は
$$1\cdot{}_{6}\mathrm{C}_{4}+4\cdot{}_{5}\mathrm{C}_{3}+3\cdot{}_{4}\mathrm{C}_{2}+2\cdot{}_{3}\mathrm{C}_{1} =15+40+18+6=79$$
通り。