7信州大学 2023年 数学 第7問解答・解説

線分PQ上の点を、$0\leqq y\leqq1$ として
$$R=(1-y)P+yQ$$
と表す。$h(t)=e^t+e^{-t}-e-e^{-1}$ とおくと
$$R=(ty,\ y,\ (1-y)(t^2-1)+yh(t)).$$
まず高さが $z\leqq0$ であることを確かめる。$t^2-1\leqq0$。また $h$ は偶関数であり、$0\leqq t\leqq1$ では $h'(t)=e^t-e^{-t}\geqq0$ だから $h(t)\leqq h(1)=0$。従って線分上の点はすべて $z\leqq0$ にある。

$y$ を固定すると $x=ty$ であり、$-1\leqq t\leqq1$ より $-y\leqq x\leqq y$。さらに $dx=y\,dt$ だから、平面 $y=\text{一定}$ で曲面と $z=0$ に挟まれる断面積は
$$A(y)=\int_{-y}^{y}(-z)\,dx =y\int_{-1}^{1}\{(1-y)(1-t^2)-yh(t)\}\,dt.$$
ここで
$$\int_{-1}^{1}(1-t^2)\,dt=\frac43,\qquad \int_{-1}^{1}h(t)\,dt=2(e-e^{-1})-2(e+e^{-1})=-\frac4e.$$
よって
$$A(y)=\frac43y(1-y)+\frac4e y^2.$$
立体は $0\leqq y\leqq1$ にわたるので、その体積は
$$V=\int_0^1 A(y)\,dy =\frac43\left(\frac12-\frac13\right)+\frac4e\cdot\frac13 =\frac29+\frac4{3e}.$$