3信州大学 2023年 数学 第3問解答・解説

対数が定義されるには $a>0,\ a\ne1$ および $x>3$ が必要である。対数法則と $1=\log_a a$ を用いると、与えられた方程式は
$$\log_a(x-3)=\log_a\{a(x+2)(x-1)\}$$
となる。対数関数は底が $1$ より小さい場合も一対一なので、これは
$$a=\frac{x-3}{(x+2)(x-1)}$$
と同値である。$t=x-3>0$ とおけば
$$a=\frac{t}{t^2+7t+10}=\frac1{t+7+10/t}.$$
相加相乗平均の不等式より $t+10/t\geqq2\sqrt{10}$、等号は $t=\sqrt{10}$ のときに限る。したがって
$$0<a\leqq\frac1{7+2\sqrt{10}}.$$
逆に、この範囲の $a$ を任意にとると $L=1/a-7\geqq2\sqrt{10}$。二次方程式 $t^2-Lt+10=0$ は判別式が非負で、二根の和 $L>0$、積 $10>0$ より正の根をもつ。この根に対して $x=t+3>3$ とすれば原方程式を満たす。また $a$ は $1$ より小さいので底の条件 $a\ne1$ も満たされる。
以上より求める範囲は
$$\boxed{0<a\leqq\frac1{7+2\sqrt{10}}=\frac{7-2\sqrt{10}}9}.$$