5信州大学 2023年 数学 第5問解答・解説

与えられた二乗和の差から$a_{n}$を明示する。増加関数$\sqrt{4x-1}$について単位区間ごとの積分比較を行い、原始関数による上下評価を$n^{3/2}$で割ってはさみうちを使う。

(1)
$T_n=\sum_{k=1}^{n}a_k^2=2n^2+n$ とおき、$T_0=0$ とする。$n\geqq1$ について
$$a_n^2=T_n-T_{n-1} =(2n^2+n)-\{2(n-1)^2+(n-1)\} =4n-1.$$
すべての $a_n$ は正だから
$$a_n=\sqrt{4n-1}.$$

(2)
$g(x)=\sqrt{4x-1}$ とおく。$x\geqq1$ で $g$ は増加関数であり、各整数 $k\geqq1$ について
$$g(k)\leqq \int_k^{k+1}g(x)\,dx\leqq g(k+1)$$
が成り立つ。これを足し合わせると
$$\int_1^n g(x)\,dx\leqq\sum_{k=2}^{n}g(k)\leqq S_n \leqq\sum_{k=1}^{n}g(k)\leqq\int_1^{n+1}g(x)\,dx.$$
置換 $u=4x-1$ により
$$\int g(x)\,dx=\frac16(4x-1)^{3/2}$$
だから
$$\frac{(4n-1)^{3/2}-3\sqrt3}{6} \leqq S_n\leqq \frac{(4n+3)^{3/2}-3\sqrt3}{6}.$$
$n\sqrt n=n^{3/2}$ で割ると
$$\frac16\left(4-\frac1n\right)^{3/2} -\frac{3\sqrt3}{6n^{3/2}} \leqq\frac{S_n}{n\sqrt n}\leqq \frac16\left(4+\frac3n\right)^{3/2} -\frac{3\sqrt3}{6n^{3/2}}.$$
両端は $n\to\infty$ でともに $8/6=4/3$ に収束する。したがってはさみうちの原理より
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n\sqrt n}=\frac43}.$$