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弘前大学／2025年度

7弘前大学 2025年 数学 第7問解答・解説

ベクトル

難易度勝負 レベル 4/10 目安 20分編集部の評価

対象理工（数物科学科）医学科は解かない

1問題

弘前大学2025年度第7問
座標空間において、5 点 O(0, 0, 0)\mathrm{O}(0,\,0,\,0)、A(1, 0, 0)\mathrm{A}(1,\,0,\,0)、B(0, 2, 1)\mathrm{B}(0,\,2,\,1)、C(0, 0, −1)\mathrm{C}(0,\,0,\,-1)、P(x, y, z)\mathrm{P}(x,\,y,\,z) がある。ただし、点 P\mathrm{P} は線分 AB\mathrm{AB} 上にあるとする。次の問いに答えよ。

(1) xx の値の範囲を求め、yy と zz をそれぞれ xx を用いて表せ。

(2) CA→\overrightarrow{\mathrm{CA}} と CP→\overrightarrow{\mathrm{CP}} の内積を求めよ。

(3) ∠ACP=π6\angle\mathrm{ACP}=\dfrac{\pi}{6} となるときの xx の値を求めよ。

出典：弘前大学 2025年度 数学 第7問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    0≦x≦10\leqq x\leqq1、y=2−2xy=2-2x、z=1−xz=1-x
  • (2)
    22
  • (3)
    x=23x=\dfrac{2}{3}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

線分 AB\mathrm{AB} 上の点は OP→=OA→+sAB→ (0≦s≦1)\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}\ (0\leqq s\leqq1) と表せる。(2) の内積は xx によらない。(3) は内積と大きさから cos⁡∠ACP\cos\angle\mathrm{ACP} を xx で表す。

解答

(1)

AB→=(−1, 2, 1)\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-1,\,2,\,1) より P(1−s, 2s, s) (0≦s≦1)\mathrm{P}(1-s,\,2s,\,s)\ (0\leqq s\leqq1)。x=1−sx=1-s より 0≦x≦10\leqq x\leqq1、y=2−2xy=2-2x、z=1−xz=1-x。

(2)

CA→=(1, 0, 1)\overrightarrow{\mathrm{CA}}=(1,\,0,\,1)、CP→=(x, 2−2x, 2−x)\overrightarrow{\mathrm{CP}}=(x,\,2-2x,\,2-x) より
CA→⋅CP→=x+(2−x)=2. \overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CP}}=x+(2-x)=2.

(3)

∣CA→∣=2|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=\sqrt{2}、∣CP→∣2=x2+(2−2x)2+(2−x)2=6x2−12x+8|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|^{2}=x^{2}+(2-2x)^{2}+(2-x)^{2}=6x^{2}-12x+8。cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} より
226x2−12x+8=32⟺6x2−12x+8=83⟺9x2−18x+8=0. \dfrac{2}{\sqrt{2}\sqrt{6x^{2}-12x+8}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 6x^{2}-12x+8=\dfrac{8}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad 9x^{2}-18x+8=0.
x=23, 43x=\dfrac{2}{3},\,\dfrac{4}{3} で、0≦x≦10\leqq x\leqq1 より x=23x=\dfrac{2}{3}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 空間ベクトルの成分
  • 内積の計算
  • 内積となす角

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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