4秋田大学 2024年 数学 第4問解答・解説

座標空間に 4 点 $\mathrm{O}(0,\,0,\,0)$、$\mathrm{A}(0,\,0,\,4)$、$\mathrm{B}(3,\,0,\,0)$、$\mathrm{C}(0,\,4,\,0)$ を頂点とする四面体 $\mathrm{OABC}$ がある。次の問いに答えなさい。

(i) $\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{BR}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}=\vec{0}$ を満たす点 $\mathrm{R}$ に対して、$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$ を成分で表しなさい。

(ii) 点 $\mathrm{O}$ から辺 $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{OH}$ を下ろす。実数 $a,\,b$ に対して、$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=a\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ が成り立つとき、$a$ と $b$ の値を求めなさい。

(iii) $\triangle\mathrm{AOB}$、$\triangle\mathrm{AOC}$ の内心をそれぞれ $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ とし、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。このとき、内積 $\overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$ を求めなさい。