4信州大学 2023年 数学 第4問解答・解説

3を法とする余りで一意性を絞り、得られた候補p=3を素数の約数条件で確かめる。

10$\equiv$1$\pmod3$、20$\equiv$2$\pmod3$ なので、p,p+10,p+20 を 3 で割った余りは p,p+1,p+2 を 3 で割った余りに等しい。この3つの余りには 0 がちょうど1つ含まれるから、3数のうちちょうど1つが 3 の倍数である。3の倍数である素数は3だけである。p$\equiv$1$\pmod3$ なら p+20>3 が3の倍数となり、p$\equiv$2$\pmod3$ なら p+10>3 が3の倍数となるが、いずれも素数に反する。よって p$\equiv$0$\pmod3$ であり、素数 p は p=3 に限る。逆に p=3 なら3数は 3,13,23 である。13は2でも3でも割り切れず、$\sqrt{13}<4$ より素数である。23は2でも3でも割り切れず、$\sqrt{23}<5$ より素数である。したがって p=3 は条件を満たし、これが唯一の値である。