5長崎大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1) は分母がつねに正なので、増減を調べ、$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to0$ になることと合わせて最大・最小を決める。(2) は $1-a\leqq0$ なので、$x=0$ で絶対値を外す。(3) は $\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right)$ を使う。

(1)

分母は $(x-1)^{2}+5>0$ で、$f(x)$ はすべての実数で定義される。
$$f'(x)=\dfrac{(x^{2}-2x+6)-(x-3)(2x-2)}{(x^{2}-2x+6)^{2}}=\dfrac{-x(x-6)}{(x^{2}-2x+6)^{2}}.$$
$f(x)$ は $x\leqq0$ で減少、$0\leqq x\leqq6$ で増加、$x\geqq6$ で減少し、$f(0)=-\dfrac{1}{2}$、$f(6)=\dfrac{1}{10}$。また $x\to\pm\infty$ のとき $f(x)\to0$ である。よって最大値 $\dfrac{1}{10}$（$x=6$）、最小値 $-\dfrac{1}{2}$（$x=0$）。

(2)

$a\geqq1$ より $1-a\leqq0<1+a$。$x\leqq0$ で $|e^{x}-1|=1-e^{x}$、$x\geqq0$ で $e^{x}-1$ だから
$$\int_{1-a}^{1+a}|e^{x}-1|\,dx=\Bigl[x-e^{x}\Bigr]_{1-a}^{0}+\Bigl[e^{x}-x\Bigr]_{0}^{1+a}=e^{1+a}+e^{1-a}-4.$$
$g(a)=e^{1+a}+e^{1-a}-4$ とおくと $g'(a)=e^{1+a}-e^{1-a}>0\ (a\geqq1)$ で増加し、$a\to\infty$ で $g(a)\to\infty$。$g(1)=e^{2}-3$ だから、取りうる値の範囲は $e^{2}-3$ 以上である。

(3)

$n=1$ のとき、$(\sin x)'=\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ で成り立つ。

$n=k$ のとき $(\sin x)^{(k)}=\sin\left(x+\dfrac{k\pi}{2}\right)$ が成り立つと仮定すると
$$(\sin x)^{(k+1)}=\dfrac{d}{dx}\sin\left(x+\dfrac{k\pi}{2}\right)=\cos\left(x+\dfrac{k\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\dfrac{(k+1)\pi}{2}\right)$$
で、$n=k+1$ のときも成り立つ。よって、すべての自然数 $n$ で成り立つ。

また
$$(\sin x)^{(n+4)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}+2\pi\right)=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)=(\sin x)^{(n)}.$$