11長崎大学 2026年 数学 第11問解答・解説

下図のように、$xy$座標平面上の図形$F$は、直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の斜辺と、点$\mathrm{D}$を中心とする半径1の半円の直径を重ね合わせた図形であり、$x$軸上を動くものとする。はじめ、$F$の4点$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$は、それぞれ点$\mathrm{A}_{0}(0,\,0)$、$\mathrm{B}_{0}(0,\,2)$、$\mathrm{C}_{0}(-1,\,1)$、$\mathrm{D}_{0}(0,\,1)$に位置している。$F$は、$x$軸の上を滑らないように時計回りに回転し、$\mathrm{A}$が再び$x$軸と接し、さらに線分$\mathrm{AB}$と$x$軸が垂直になるまで動き、1回転して静止する。$F$がはじめの位置から角$\theta\ (0\leqq\theta\leqq\pi)$だけ回転したときの$\mathrm{A}(x,\,y)$の座標は、$x=\theta-\sin\theta,\,y=1-\cos\theta$、$\mathrm{D}(x,\,y)$の座標は、$x=\theta,\,y=1$とそれぞれ表すことができる。以下の問いに答えよ。

(1) $0\leqq\theta\leqq\pi$のとき、$\mathrm{B}(x,\,y)$の座標を$\theta$を用いて表せ。また、$\theta=\pi$のとき、$F$上の4点$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$が位置する点$\mathrm{A}_{1}$、$\mathrm{B}_{1}$、$\mathrm{C}_{1}$、$\mathrm{D}_{1}$の座標をそれぞれ求めよ。ただし、答えのみでよい。

(2) $0<\theta<\pi$のとき、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$がえがく曲線をそれぞれ$J_{1}$、$K_{1}$とする。$F$が角$\theta$だけ回転したときの$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$が位置する点における曲線$J_{1}$、$K_{1}$の2本の接線$l_{1}$、$l_{2}$は垂直に交わることを示せ。

(3) (2)における2本の接線$l_{1}$、$l_{2}$の交点$\mathrm{P}$は、$\theta$が変化するとき、どのような図形上を動くか説明せよ。

(4) $F$が1回転して静止するとき、4点$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$が位置する点$\mathrm{A}_{2}$、$\mathrm{B}_{2}$、$\mathrm{C}_{2}$、$\mathrm{D}_{2}$の座標をそれぞれ求めよ。ただし、答えのみでよい。また、$\mathrm{A}$が$\mathrm{A}_{0}$から$\mathrm{A}_{2}$まで動いてえがく曲線$J$と$x$軸とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ。