10長崎大学 2026年 数学 第10問解答・解説

(1)

$f'(x)=24x^{2}-6=6(2x-1)(2x+1)$ だから、臨界点は $x=\pm\dfrac{1}{2}$ である。導関数の符号は、$x<-\dfrac{1}{2}$ で正、$-\dfrac{1}{2}<x<\dfrac{1}{2}$ で負、$x>\dfrac{1}{2}$ で正。したがって
$$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=3,\qquad f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-1$$
より極大値は $3$、極小値は $-1$。

また $f(-1)=-1$、$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=3$、$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-1$、$f(1)=3$。三つの単調区間と中間値の定理から、三つの範囲 $-1<x<-\dfrac{1}{2}$、$-\dfrac{1}{2}<x<\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{1}{2}<x<1$ のそれぞれに方程式 $f(x)=0$ の解がちょうど1個ずつある。従って異なる3根はすべて $-1$ より大きく $1$ より小さい。

(2)

方程式を8で割ると $x^{3}-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{8}=0$。解と係数の関係から
$$s_{1}=\alpha+\beta+\gamma=0,\quad s_{2}=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-\dfrac{3}{4},\quad s_{3}=\alpha\beta\gamma=-\dfrac{1}{8}.$$
よって
$$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=s_{1}^{2}-2s_{2}=\dfrac{3}{2},$$
$$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}=s_{1}^{3}-3s_{1}s_{2}+3s_{3}=-\dfrac{3}{8}.$$

(3)

(1) より $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ のいずれの根 $r$ も $|r|<1$。したがって各等比級数が収束し、
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}(\alpha^{k}+\beta^{k}+\gamma^{k}) =\dfrac{\alpha}{1-\alpha}+\dfrac{\beta}{1-\beta}+\dfrac{\gamma}{1-\gamma}.$$
通分した分母は
$$(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=1-s_{1}+s_{2}-s_{3}=\dfrac{3}{8},$$
分子は
$$\alpha(1-\beta)(1-\gamma)+\beta(1-\gamma)(1-\alpha)+\gamma(1-\alpha)(1-\beta) =s_{1}-2s_{2}+3s_{3}=\dfrac{9}{8}.$$
よって極限は $\dfrac{9/8}{3/8}=3$。

(4)

$h(p)=(p-\alpha)(p-\beta)(p-\gamma)$ とおくと、距離の積は $g(p)=|h(p)|$。解と係数の関係を使えば
$$h(p)=p^{3}-\dfrac{3}{4}p+\dfrac{1}{8},\qquad h'(p)=3p^{2}-\dfrac{3}{4}.$$
$h'$ の零点は $\pm\dfrac{1}{2}$ であり、問題の範囲 $-1\leqq p\leqq1$ の端点と合わせた値は
$$h(-1)=-\dfrac{1}{8},\quad h\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{8},\quad h\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{8},\quad h(1)=\dfrac{3}{8}.$$
増減とこれらの値から $-\dfrac{1}{8}\leqq h(p)\leqq\dfrac{3}{8}$。また根 $\alpha$ は $-1\leqq\alpha\leqq1$ を満たすため、$g(\alpha)=0$。よって
$$0\leqq g(p)\leqq\dfrac{3}{8}.$$