2長崎大学 2026年 数学 第2問解答・解説

下図のような $\triangle\mathrm{OAB}$ において、点 $\mathrm{C}$ は辺 $\mathrm{AB}$ 上にあり、$\mathrm{AC}=2,\ \mathrm{BC}=1$ である。辺の長さおよび角の大きさは、それぞれ $\mathrm{OA}=a,\ \mathrm{OB}=b,\ \mathrm{OC}=c$、$\angle\mathrm{OAC}=\theta,\ \angle\mathrm{OCA}=\dfrac{\pi}{3},\ \angle\mathrm{OBC}=\dfrac{\pi}{4}$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $\triangle\mathrm{OAB}$ と $\triangle\mathrm{OAC}$ において、余弦定理を用いて $b^{2},\,c^{2}$ をそれぞれ $a,\,\theta$ の式で表せ。

(2) $\triangle\mathrm{OCB}$ において、正弦定理を用いて $b$ を $c$ の式で表せ。

(3) $a$ および $\angle\mathrm{AOC}$ をそれぞれ求めよ。

(4) $\theta$ および $b,\,c$ をそれぞれ求めよ。