9長崎大学 2026年 数学 第9問解答・解説

x の3次関数 $f(x)$ が、$f(x)=x^{3}-(a+b)x^{2}+abx$ として定義されており、定数 $a,b$ は $0<a<b$ である。また、原点を $O$ とする $xy$ 座標平面上の曲線 $C:y=f(x)$ と $x$ 軸は、異なる3点 $O,A,B$ で交わる。ただし、$OA<OB$ とする。3点 $O,A,B$ における $C$ の接線をそれぞれ $l_{1},l_{2},l_{3}$ とするとき、以下の問いに答えよ。
(1) $A,B$ の座標を $a,b$ を用いてそれぞれ求めよ。また、$l_{1},l_{2},l_{3}$ の方程式を $a,b$ を用いてそれぞれ表せ。
(2) $C$ と線分 $OA$ とで囲まれる図形の面積を $S_{1}$、$C$ と線分 $AB$ とで囲まれる図形の面積を $S_{2}$ とするとき、2つの面積の差 $S_{1}-S_{2}$ を $a,b$ を用いて表せ。また、$S_{1}$ と $S_{2}$ の大小関係を調べよ。
(3) (2)において、$S_{1}=S_{2}$ とする。$l_{1}$ と $l_{2}$ の交点を $D$、$l_{2}$ と $l_{3}$ の交点を $E$ とするとき、2点 $D,E$ の座標をそれぞれ $a$ を用いて表せ。また、四角形 $OEBD$ の面積を $T$ とするとき、$\dfrac{S_{1}+S_{2}}{T}$ の値を求めよ。
(4) (3)において、原点 $O$ を通る直線 $m$ が線分 $BD$ と点 $F$ で交わるものとする。$\triangle OBF$ の面積が $S_{1}$ と等しくなるとき、点 $F$ の座標および直線 $m$ の方程式を $a$ を用いてそれぞれ表せ。