IV慶應義塾大学 2026年 数学 第IV問解答・解説

(1) $x$軸との接点
接点では$f(x)=0$かつ$f'(x)=0$である。$f(x)=0$から$a=x^2/(x-1)$。これを
$$f'(x)=-\frac1{(x-1)^2}+\frac{2a}{x^3}=0$$
に代入すると$x=2$、従って$a=4$である。

(2) 極大値・交点・面積
$a=4$のとき
$$f'(x)=\frac{8(x-1)^2-x^3}{x^3(x-1)^2} =-\frac{(x-2)(x^2-6x+4)}{x^3(x-1)^2}.$$
$x>1$において極大点は$x=t=3+\sqrt5$である。ここで
$$f(t)=\frac1{t-1}-\frac4{t^2}=\frac{5\sqrt5-11}{2}=:c.$$
方程式$f(x)=c$を整理すると
$$cx^3-(c+1)x^2+4x-4=0.$$
$t$は接点なので重解であり、残る解を$s$とすると、解の和より
$$s=1+\frac1c-2t=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$
曲線は$s\leqq x\leqq t$の範囲で直線$y=c$以下なので、その面積は
$$\begin{aligned} S&=\int_s^t\{c-f(x)\}\,dx\\ &=c(t-s)+4\left(\frac1s-\frac1t\right)+\log\frac{s-1}{t-1}\\ &=\frac{-25+13\sqrt5}{2}+\log\frac{7-3\sqrt5}{2}. \end{aligned}$$$$S={\int }_s^t\{c-f(x)\}dx$$$$=c(t-s)+4\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{t}\right)+\log \frac{s-1}{t-1}$$$$=\frac{-25+13\sqrt{5}}{2}+\log \frac{7-3\sqrt{5}}{2}.$$

(3) 極値をもつ条件
$$f'(x)=\frac{2}{x^3}\{a-H(x)\},\qquad H(x)=\frac{x^3}{2(x-1)^2}\quad(x>1),$$
$$H'(x)=\frac{x^2(x-3)}{2(x-1)^3}.$$
従って$H$は$x=3$で最小値$27/8$をとる。$a>27/8$なら$a=H(x)$は2つの解をもち、$f'$の符号は負・正・負と変わるので極小値と極大値をもつ。$a=27/8$では$f'\leqq0$で等号は$x=3$だけ、$a<27/8$では常に$f'<0$である。よって必要十分条件は$a>27/8$、すなわち$\alpha=27/8$。

(4) 3次方程式と極限
$g(a)$は$H(g)=a$の大きい方の解である。$t=g(a)-3$とおけば
$$(t+3)^3-2a(t+2)^2=0,$$
すなわち
$$t^3+(9-2a)t^2+(27-8a)t+(27-8a)=0.$$
また$a=H(3+t)$より、次の恒等式が成り立つ。
$$a-\frac{27}{8}=\frac{t^2(9+4t)}{8(t+2)^2}.$$
従って$t\to0+$のとき
$$\lim_{a\to\alpha+0}\frac{g(a)-3}{\sqrt{a-\alpha}} =\sqrt{\frac{32}{9}}=\frac{4\sqrt2}{3}.$$
次に$c=f(g(a))$とおく。$a=H(g)$を代入すると$c=(g-2)/[2(g-1)^2]$。方程式$f(x)=c$を整理した3次式は$g$を重解にもつ。もう1つの解を$h$とすると解の和より
$$h=1+\frac1c-2g=\frac{g}{g-2}.$$
よって$g=3+t$を用いて
$$\frac{h-3}{t}=-\frac2{1+t},\qquad \lim_{a\to\alpha+0}\frac{h(a)-3}{\sqrt{a-\alpha}}=-\frac{8\sqrt2}{3}.$$
最後に、$f(x)=c$を分母を払った式
$$F(x):=cx^3-(c+1)x^2+ax-a=0$$
で表すと、その根は$g,g,h$なので$F(x)=c(x-g)^2(x-h)$。したがって
$$c-f(x)=\frac{c(x-g)^2(x-h)}{x^2(x-1)}.$$
$g=3+t$、$h=3-2t/(1+t)$で$x=3+tv$と置換すると
$$\frac{S(a)}{t^4} =c\int_{-2/(1+t)}^1 \frac{(1-v)^2\left(v+2/(1+t)\right)}{(3+tv)^2(2+tv)}\,dv, \qquad c=\frac{1+t}{2(t+2)^2}.$$
$t\to0+$で積分区間と被積分関数はそれぞれ$-2\leqq v\leqq1$、$(1-v)^2(v+2)/18$に近づくから
$$\lim_{t\to0+}\frac{S(a)}{t^4} =\frac1{144}\int_{-2}^1(1-v)^2(v+2)\,dv =\frac3{64}.$$
一方$(a-\alpha)/t^2\to9/32$なので
$$\lim_{a\to\alpha+0}\frac{S(a)}{(a-\alpha)^2} =\frac{3/64}{(9/32)^2}=\frac{16}{27}.$$