8長崎大学 2026年 数学 第8問解答・解説

以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) $x$ についての多項式 $P(x)=x^{2}+ax+b$ がある。ただし、$a\neq0$、$b\neq0$ とする。$P(x^{2})$ を $a,b,x$ の式で表し、$P(x^{2})$ を $P(x)$ で割ったときの商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ を求めよ。ただし、$P(x^{2})$、$Q(x)$、$R(x)$ は答えのみでよい。また、$P(x^{2})$ が $P(x)$ で割り切れるとき、定数 $a,b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a\geqq1$ のとき、定積分 $\displaystyle \int_{1-a}^{1+a}\lvert e^{x}-1\rvert\,dx$ を $a$ を用いて表せ。また、この定積分が取りうる値の範囲を求めよ。

(注) (3)は選択問題である。(A)、(B)いずれか1問を解答すること。

(3)(A) $n$ を自然数とする。関数 $\sin x$ の第 $n$ 次導関数を $(\sin x)^{(n)}$ と表すとき、$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)$ が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。ただし、$\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$ は成り立つものとする。また、$(\sin x)^{(n)}=(\sin x)^{(n+4)}$ であることを示せ。

(3)(B) $a$ は、$-1,0,1$ のいずれかの値をとる確率変数で、$-1$ をとる確率が $\dfrac{1}{6}$、$0$ をとる確率が $\dfrac{1}{3}$、$1$ をとる確率が $\dfrac{1}{2}$ である。$x$ についての方程式 $ax^{2}-2ax+1=0$ の解の個数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求めよ。また、$X$ の平均および分散を求めよ。ただし、解が重解の場合、個数は1個とする。