5神戸大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1) $q(x)=f(x)/x$ とおく。$1<x<t$ では
$$q'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=0.$$
$q$ は $1\leqq x\leqq t$ で連続し、$1<x<t$ で微分可能である。$1\leqq x_1\leqq t$ と $1\leqq x_2\leqq t$ を満たす任意の2点に平均値の定理を適用すると $q(x_1)=q(x_2)$ となるので、$q$ は閉区間全体で定数である。

(2) $t=1$ を条件に代入すると
$$\sqrt{1+f(1)^2}=g(1)=h(1)+2=2.$$
$f(1)\geqq0$ だから $f(1)=\sqrt3$。

$t>1$ では曲線の長さの公式と $f'$ の連続性から
$$h(t)=\int_1^t\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx, \qquad h'(t)=\sqrt{1+f'(t)^2}.$$
また $g(t)=\sqrt{t^2+f(t)^2}$ である。恒等式 $g(t)=h(t)+2$ を微分すると
$$\frac{t+f(t)f'(t)}{\sqrt{t^2+f(t)^2}}=\sqrt{1+f'(t)^2}.$$
両辺を二乗して展開し、共通項を消去すると
$$2tf(t)f'(t)=t^2f'(t)^2+f(t)^2, \qquad (tf'(t)-f(t))^2=0.$$
したがって $f(t)-tf'(t)=0$ がすべての $t>1$ で成り立つ。(1)を任意の $T>1$ に適用すると、$f(x)/x$ は $1\leqq x\leqq T$ で一定であり、その値は $f(1)=\sqrt3$。よって
$$f(t)=\sqrt3\,t\quad(t\geqq1).$$
この式では $g(t)=2t$、$h(t)=2(t-1)$ となり、条件 $g(t)=h(t)+2$ も確かに満たす。

平均値の定理、商の微分、曲線の長さの公式、微分積分の基本定理を使う高校数学IIIの範囲で解ける。端点 $t=1$ と微分可能な区間 $t>1$ を分け、定数性を閉区間へ延長する条件も満たす。