1長崎大学 2026年 数学 第1問解答・解説

以下はそれぞれ個別の問題である。各問いに答えよ。

(1) $x$ についての多項式 $P(x)=x^{2}+ax+b$ がある。ただし、$a\neq0,\ b\neq0$ とする。$P(x^{2})$ を $a,\,b,\,x$ の式で表し、$P(x^{2})$ を $P(x)$ で割ったときの商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ を求めよ。ただし、$P(x^{2}),\ Q(x),\ R(x)$ は答えのみでよい。

また、$P(x^{2})$ が $P(x)$ で割り切れるとき、定数 $a,\,b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) 数列 $\{a_{n}\}$ が、$a_{1}=5,\ a_{n+1}+a_{n}=4n\ (n\geqq1)$ で定義されている。この漸化式を $a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=\gamma(a_{n}+\alpha n+\beta)$ と表すとき、定数 $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ の値、および数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ。

（注）(3) は選択問題である。(A)、(B) いずれか 1 問を解答すること。

(3) (A) 複素数平面上の点 $z$ が、不等式 $|z+\overline{z}|+|z-\overline{z}|\leqq2$ を満たすとき、点 $z$ の全体はどのような図形を表すか。$z=x+yi$（$x,\,y$ は実数）とおいて答えよ。また、このとき $|z-1-i|$ の最大値と最小値、およびそのときの $z$ の値をそれぞれ求めよ。ただし、$\overline{z}$ は複素数 $z$ の共役複素数を表すものとし、$i$ は虚数単位とする。

(B) $a$ は、$-1,\,0,\,1$ のいずれかの値をとる確率変数で、$-1$ をとる確率が $\dfrac{1}{6}$、$0$ をとる確率が $\dfrac{1}{3}$、$1$ をとる確率が $\dfrac{1}{2}$ である。$x$ についての方程式 $ax^{2}-2ax+1=0$ の解の個数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の確率分布を求めよ。

また、$X$ の平均および分散を求めよ。

ただし、解が重解の場合、個数は 1 個とする。