4大阪大学 2026年 数学 第4問解答・解説

(1) $g(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x)$ とおくと $g'(x)=-2e^{-x}\sin x\leqq0$。従って $g(x)\leqq g(0)=1$。
$f'(x)=-g(x)$ だから $(f(x)+x-1)'=1-g(x)\geqq0$ であり，$x=0$ で0なので $1-x\leqq f(x)$。
また $0\leqq\cos x\leqq1$ と $0<e^{-x}\leqq1$ より $f(x)\leqq1$。
(2) $x=at$ と置換すると
$$I(a)=\int_0^1\frac{1+t}{1+t^2}f(at)\,dt.$$
$1-at\leqq f(at)\leqq1$ を正の重み $(1+t)/(1+t^2)$ とともに積分すれば，$J=\int_0^1(1+t)/(1+t^2)\,dt$ として
$$0\leqq J-I(a)\leqq a\int_0^1\frac{t(1+t)}{1+t^2}\,dt.$$
よって極限は $J$。
$$\int_0^1\frac{t}{1+t^2}\,dt=\frac12\log2.$$
残る積分では $t=\tan u$（$0\leqq u\leqq\pi/4$）とおくと $dt=(1+\tan^2u)du$ なので $\int_0^1dt/(1+t^2)=\pi/4$。
従って求める極限は $\frac12\log2+\frac\pi4$。