3長崎大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$x$ の 3 次関数 $f(x)$ が、$f(x)=x^{3}-(a+b)x^{2}+abx$ として定義されており、定数 $a,\,b$ は $0<a<b$ である。また、原点を $\mathrm{O}$ とする $xy$ 座標平面上の曲線 $C:y=f(x)$ と $x$ 軸は、異なる 3 点 $\mathrm{O},\,\mathrm{A},\,\mathrm{B}$ で交わる。ただし、$\mathrm{OA}<\mathrm{OB}$ とする。

3 点 $\mathrm{O},\,\mathrm{A},\,\mathrm{B}$ における $C$ の接線をそれぞれ $l_{1},\,l_{2},\,l_{3}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\mathrm{A},\,\mathrm{B}$ の座標を $a,\,b$ を用いてそれぞれ求めよ。また、$l_{1},\,l_{2},\,l_{3}$ の方程式を $a,\,b$ を用いてそれぞれ表せ。

(2) $C$ と線分 $\mathrm{OA}$ とで囲まれる図形の面積を $S_{1}$、$C$ と線分 $\mathrm{AB}$ とで囲まれる図形の面積を $S_{2}$ とするとき、2 つの面積の差 $S_{1}-S_{2}$ を $a,\,b$ を用いて表せ。また、$S_{1}$ と $S_{2}$ の大小関係を調べよ。

(3) (2) において、$S_{1}=S_{2}$ とする。$l_{1}$ と $l_{2}$ の交点を $\mathrm{D}$、$l_{2}$ と $l_{3}$ の交点を $\mathrm{E}$ とするとき、2 点 $\mathrm{D},\,\mathrm{E}$ の座標をそれぞれ $a$ を用いて表せ。

また、四角形 $\mathrm{OEBD}$ の面積を $T$ とするとき、$\dfrac{S_{1}+S_{2}}{T}$ の値を求めよ。

(4) (3) において、原点 $\mathrm{O}$ を通る直線 $m$ が線分 $\mathrm{BD}$ と点 $\mathrm{F}$ で交わるものとする。$\triangle\mathrm{OBF}$ の面積が $S_{1}$ と等しくなるとき、点 $\mathrm{F}$ の座標および直線 $m$ の方程式を $a$ を用いてそれぞれ表せ。