4京都府立医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

導関数で増減と凹凸を調べ、接線との差を因数分解して交点を判定する。極限では十分大きいtで囲まれる区間を定め、面積を積分して有理式と対数に整理する。

$f(x)=x^{-1}-x^{-2}$ より
$$f^{\prime}(x)=-\frac1{x^2}+\frac2{x^3}=\frac{2-x}{x^3},\qquad f^{\prime\prime}(x)=\frac2{x^3}-\frac6{x^4}=\frac{2(x-3)}{x^4}.$$

(1) $x>0$ では $x^3>0$ なので、$f^{\prime}(x)$ は $0<x<2$ で正、$x>2$ で負である。従って $x=2$ で極大となり、$f(2)=1/4$ だから極大点は $(2,1/4)$、極大値は $1/4$ である。$x\to0+$ で $f(x)\to-\infty$ であり、他に極小点はない。また $f^{\prime\prime}(x)$ は $0<x<3$ で負、$x>3$ で正となるので、凹凸が変わる点は $x=3$ である。$f(3)=2/9$ より変曲点は $(3,2/9)$。

(2) $P(t,f(t))$ における接線を $y=L_t(x)$ とする。傾きは $f^{\prime}(t)=(2-t)/t^3$、切片は $f(t)-tf^{\prime}(t)=(2t-3)/t^2$ だから
$$L_t(x)=\frac{2-t}{t^3}x+\frac{2t-3}{t^2}.$$
$C$ との共有点は $f(x)=L_t(x)$ を満たす $x>0$ であり、整理すると
$$f(x)-L_t(x)=\frac{(x-t)^2\bigl((t-2)x-t\bigr)}{t^3x^2}=0.$$
$t>0$, $x>0$ より分母は正である。$x=t$ 以外の候補は $x=t/(t-2)$ で、これが正となるのは $t>2$ のときである。さらにこの候補が $P$ と異なるためには $t/(t-2)\ne t$、すなわち $t\ne3$ が必要である。よって条件は $t>2$ かつ $t\ne3$。そのときの $y$ 座標は
$$f\left(\frac{t}{t-2}\right)=\frac{2(t-2)}{t^2}$$
なので、共有点は $\left(\dfrac{t}{t-2},\dfrac{2(t-2)}{t^2}\right)$。

(3) $t\to\infty$ では $t>3$ としてよい。このとき $x_0=t/(t-2)<t$ であり、上の因数分解から $x_0<x<t$ では $f(x)-L_t(x)>0$ である。従って囲まれた部分の面積は
$$S(t)=\int_{x_0}^{t}\bigl(f(x)-L_t(x)\bigr)\,dx.$$
$a=(2-t)/t^3$, $b=(2t-3)/t^2$ とおけば $L_t(x)=ax+b$ であるから
$$S(t)=\left[\log x+\frac1x-\frac{a}{2}x^2-bx\right]_{x_0}^{t} =\log(t-2)-1+\frac3t+\frac{(t-3)(t-1)}{2t(t-2)}-\frac{(2t-3)(t-3)}{t(t-2)}.$$
よって
$$S(t)-\log t=\log\frac{t-2}{t}-1+\frac3t+\frac{(t-3)(t-1)}{2t(t-2)}-\frac{(2t-3)(t-3)}{t(t-2)}.$$
$t\to\infty$ とすると各項は順に $0,-1,0,1/2,-2$ に近づく。従って求める極限は $-1+1/2-2=-5/2$ である。