2弘前大学 2025年 数学 第2問解答・解説

接点の $x$ 座標を $s$ とおくと、接線の $y$ 切片は $-as^{2}+1$ で、$\mathrm{Q}$ を通る条件から $s=\pm\dfrac{1}{2}$。$m$ は $s=-\dfrac{1}{2}$ の接線で、傾きは $-2a-1$。(3) は $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ のなす角を内積で表す。

(1)

$y'=2ax-(1+a)$ より、$\mathrm{A}$ での傾きは $-1$。
$$\ell:y=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{2-a}{4}=-x+1-\dfrac{a}{4}.$$
よって $\mathrm{P}\left(1-\dfrac{a}{4},\,0\right)$、$\mathrm{Q}\left(0,\,1-\dfrac{a}{4}\right)$。

(2)

$x=s$ での接線は $y=\{2as-(1+a)\}x-as^{2}+1$。$\mathrm{Q}$ を通るから $-as^{2}+1=1-\dfrac{a}{4}$、$s^{2}=\dfrac{1}{4}$。$s=\dfrac{1}{2}$ は $\ell$ だから、$m$ は $s=-\dfrac{1}{2}$ のときで
$$m:y=(-2a-1)x+1-\dfrac{a}{4}.$$
$m$ が $x$ 軸と交わるのは傾きが $0$ でないとき、すなわち $a\neq-\dfrac{1}{2}$ のときである。$a<0$ と合わせて $a<-\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{1}{2}<a<0$。

(3)

$k=1-\dfrac{a}{4}>0$、$\mu=-2a-1$ とおくと、$\mathrm{R}\left(-\dfrac{k}{\mu},\,0\right)$ で
$$\overrightarrow{\mathrm{QP}}=k(1,\,-1),\qquad \overrightarrow{\mathrm{QR}}=-\dfrac{k}{\mu}(1,\,\mu).$$
・$\mu>0$（$a<-\dfrac{1}{2}$）のとき：$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ は $(-1,\,-\mu)$ と同じ向きで、$\cos\angle\mathrm{PQR}=\dfrac{\mu-1}{\sqrt{2}\sqrt{1+\mu^{2}}}$。これが $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ なら $\mu>1$ で、2 乗して整理すると $\mu^{2}+4\mu+1=0$ となるが、この解は負なので不適。

・$\mu<0$（$-\dfrac{1}{2}<a<0$）のとき：$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$ は $(1,\,\mu)$ と同じ向きで、$\cos\angle\mathrm{PQR}=\dfrac{1-\mu}{\sqrt{2}\sqrt{1+\mu^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。2 乗して $\mu^{2}+4\mu+1=0$、$\mu=-2\pm\sqrt{3}$（どちらも $1-\mu>0$ を満たす）。$a=\dfrac{-1-\mu}{2}$ より $a=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$ で、$-\dfrac{1}{2}<a<0$ を満たすのは $a=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$。

よって $a=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$。