2高知大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$C_{1},C_{2}$の共通点Pにおける共通接線$l$の傾きが$a$によらず$-3$であることから、$C_{1}(x)-l(x)$が$(x+1)^{2}$を因数に持つことを利用して$a$を決定する（(1)）。同様に$C_{2}$もPで接線$l$に接することから$C_{2}(-1),\,C_{2}'(-1)$の条件式を立て、さらに$x=\frac{3}{2}$での一致条件を加えた連立方程式で$p,\,q,\,r$を決める（(2)）。$C_{1}-C_{2}$を因数分解して符号変化を調べ、囲まれた部分の$x$の範囲を$-1\leqq x\leqq\frac{3}{2}$と確定し、$(x-\alpha)^{2}(x-\beta)$型の定積分公式で面積を求め、原始関数による直接計算で検算した（(3)）。

(1) $C_{1}:y=-x^{3}+ax^{2}+2ax+b,\ C_{2}:y=x^{3}+px^{2}+qx+r$とする。
$C_{1}'(x)=-3x^{2}+2ax+2a$より$C_{1}'(-1)=-3-2a+2a=-3$であり、これは$a$の値によらない。
$P$における共通接線$l$の傾きは$-3$であり、$l:y=C_{1}(-1)-3(x+1)$と書ける。
$C_{1}(x)-l(x)=-x^{3}+ax^{2}+2ax+b-\{(1-a+b)-3(x+1)\}=-x^{3}+ax^{2}+(2a+3)x+(a+2)$である。$l$は$C_{1}$に$x=-1$で接する（重解）から、最高次係数$-1$に注意して
$C_{1}(x)-l(x)=-(x+1)^{2}(x-s)$　($s$は$C_{1}$と$l$のもう一方の交点の$x$座標)
と表せる。右辺を展開すると$-(x+1)^{2}(x-s)=-x^{3}+(s-2)x^{2}+(1-2s)(-1)x\cdots$であり、係数比較（定数項）から$a+2=s$、すなわち$a=s-2$を得る（$x^{2},\,x$の係数比較でも同じ式に帰着し矛盾しない）。
条件より$C_{1},C_{2},l$は$x=\dfrac{3}{2}$でちょうど1点で交わるから、特に$C_{1}$と$l$はここでも交わり、これが上記の第二の交点$s$に他ならない。よって$s=\dfrac{3}{2}$である。
したがって$a=s-2=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}$。
$\boxed{a=-\dfrac{1}{2}}$
(2) $a=-\dfrac{1}{2}$のとき$C_{1}:y=-x^{3}-\dfrac{1}{2}x^{2}-x+b$である。
$y_{P}:=C_{1}(-1)=1-a+b=\dfrac{3}{2}+b,\qquad l(x)=y_{P}-3(x+1)=-3x+b-\dfrac{3}{2}$（$a=-\tfrac{1}{2}$を代入）
さらに$l\left(\dfrac{3}{2}\right)=b-6$（$C_{1}\left(\tfrac{3}{2}\right)=b-6$とも一致することは直接代入で確認できる）。
$C_{2}$もこの共通接線$l$に$x=-1$で接するので次の2条件を得る：
$C_{2}(-1)=C_{1}(-1):\ -1+p-q+r=\dfrac{3}{2}+b\ \cdots$(i)
$C_{2}'(-1)=-3:\ C_{2}'(x)=3x^{2}+2px+q,\ 3-2p+q=-3$ならば$q=2p-6$$\cdots$(ii)
また$C_{1},C_{2},l$が$x=\dfrac{3}{2}$で1点に交わる条件から$C_{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)=b-6$：
$\dfrac{27}{8}+\dfrac{9}{4}p+\dfrac{3}{2}q+r=b-6\ \cdots$(iii)
(ii)を(i)(iii)に代入して$r$を消去すると
(i)より$r=\dfrac{5}{2}+b-p+q=\dfrac{5}{2}+b-p+(2p-6)=b+p-\dfrac{7}{2}$
(iii)より$r=b-6-\dfrac{27}{8}-\dfrac{9}{4}p-\dfrac{3}{2}(2p-6)=b-\dfrac{3}{8}-\dfrac{21}{4}p$
両者を等置して$p+b-\dfrac{7}{2}=b-\dfrac{3}{8}-\dfrac{21}{4}p$ならば$\dfrac{25}{4}p=\dfrac{25}{8}$ならば$p=\dfrac{1}{2}$。
よって$q=2p-6=-5,\qquad r=b+p-\dfrac{7}{2}=b-3$。
$\boxed{p=\dfrac{1}{2},\ q=-5,\ r=b-3}$
（）
(3) $C_{1}(x)-C_{2}(x)=\left(-x^{3}-\tfrac{1}{2}x^{2}-x+b\right)-\left(x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{2}-5x+b-3\right)=-2x^{3}-x^{2}+4x+3$。
$x=-1,\ x=\dfrac{3}{2}$は（(1)(2)の設定より）ともに$C_{1}-C_{2}=0$の解であり、実際
$-2x^{3}-x^{2}+4x+3=-(x+1)^{2}(2x-3)=-2(x+1)^{2}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)$
と因数分解できる（係数比較で確認）。$x=-1$は重解（接し、符号は変わらない）、$x=\dfrac{3}{2}$は単純解（横切る）である。
$x\leqq\dfrac{3}{2}$では$(x+1)^{2}\geqq 0,\ \left(x-\tfrac{3}{2}\right)\leqq 0$だから$C_{1}(x)-C_{2}(x)=-2(x+1)^{2}\left(x-\tfrac{3}{2}\right)\geqq 0$
で、等号は$x=-1,\dfrac{3}{2}$のみ。$x>\dfrac{3}{2}$では$C_{1}(x)-C_{2}(x)<0$で以後交わらないから、$C_{1}$と$C_{2}$が囲む部分は$-1\leqq x\leqq\dfrac{3}{2}$の一つの領域だけである。
面積$S$は
$S=\int_{-1}^{3/2}(C_{1}(x)-C_{2}(x))\,dx=\int_{-1}^{3/2}-2(x+1)^{2}\left(x-\frac32\right)\,dx$。
一般に$\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\,dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^{4}}{12}$（$t=x-\alpha$と置換すれば$\int_{0}^{L}(t^{3}-Lt^{2})\,dt=\dfrac{L^{4}}{4}-\dfrac{L^{4}}{3}=-\dfrac{L^{4}}{12}$、$L=\beta-\alpha$で確かめられる）を$\alpha=-1$、$\beta=\dfrac32$、$L=\dfrac{5}{2}$に用いると
$\int_{-1}^{3/2}(x+1)^{2}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\,dx=-\dfrac{1}{12}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{4}=-\dfrac{625}{192}$。
よって$S=-2\times\left(-\dfrac{625}{192}\right)=\dfrac{625}{96}$。
（）
$\boxed{S=\dfrac{625}{96}}$