3弘前大学 2026年 数学 第3問解答・解説

$D$ は三角形で、1 次式 $y-ax$ の最大値・最小値は三角形の頂点でとる。3 つの頂点すべてで $-4\leqq y-ax\leqq2$ が成り立てばよい。

(1)

$y=0$ と $y=2x-2$ の交点は $(1,\,0)$、$y=0$ と $y=-x+3$ の交点は $(3,\,0)$、$y=2x-2$ と $y=-x+3$ の交点は $\left(\dfrac{5}{3},\,\dfrac{4}{3}\right)$。$D$ は直線 $y=2x-2$ の下側、直線 $y=-x+3$ の下側、$x$ 軸の上側の共通部分で、この 3 点を頂点とする三角形の周および内部である。

(2)

$y-ax$ は $x,\,y$ の 1 次式だから、三角形 $D$ 上での最大値・最小値は頂点でとる。3 つの頂点で条件を満たせばよい。

・$(1,\,0)$：$-4\leqq-a\leqq2$ より $-2\leqq a\leqq4$。
・$(3,\,0)$：$-4\leqq-3a\leqq2$ より $-\dfrac{2}{3}\leqq a\leqq\dfrac{4}{3}$。
・$\left(\dfrac{5}{3},\,\dfrac{4}{3}\right)$：$-4\leqq\dfrac{4-5a}{3}\leqq2$ より $-\dfrac{2}{5}\leqq a\leqq\dfrac{16}{5}$。

よって $-\dfrac{2}{5}\leqq a\leqq\dfrac{4}{3}$。