9弘前大学 2026年 数学 第9問解答・解説

箱A、Bがあり、時刻 $n=1,2,3,\cdots$ での箱A、Bに入っている玉の個数は次の規則に従うとする。
・時刻1での箱Aに入っている玉の個数は1である。時刻1での箱Bは空である。
・時刻 $n+1$ での箱Aに入っている玉の個数は、時刻 $n$ での箱Aに入っている玉の個数と時刻 $n$ での箱Bに入っている玉の個数を合計した数である。時刻 $n+1$ での箱Bに入っている玉の個数は、時刻 $n$ での箱Aに入っている玉の個数を2倍した数である。
時刻 $n$ での箱Aに入っている玉の個数を $a_n$ とし、時刻 $n$ での箱Bに入っている玉の個数を $b_n$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $a_1,a_2$ を求めよ。

(2) $n=1,2,3,\cdots$ に対し、$a_{n+1},b_{n+1}$ を $a_n,b_n$ を用いて表せ。

(3) 数列 $\{p_n\},\{q_n\}$ を $p_n=a_{n+1}+a_n\ (n=1,2,3,\cdots),\quad q_n=a_{n+1}-2a_n\ (n=1,2,3,\cdots)$ と定める。数列 $\{p_n\},\{q_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。さらに、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(4) 極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ を求めよ。