7弘前大学 2026年 数学 第7問解答・解説

(1)

分母 $x^2-2x+2=(x-1)^2+1$ は全ての実数で正である。
微分すると $f'(x)=\frac{2-x^2}{(x^2-2x+2)^2}$ となる。符号から増減が分かる。
代入値は、$f(-\sqrt2)=\frac{-\sqrt2}{4+2\sqrt2}=\frac{1-\sqrt2}2$、$f(\sqrt2)=\frac{\sqrt2}{4-2\sqrt2}=\frac{1+\sqrt2}2$ である。

(2)

曲線と $x$ 軸の交点は $x=0$ であり、$0\leqq x\leqq1$ では $f(x)\geqq0$ である。
従って求める面積は
$$S=\int_0^1\frac{x}{(x-1)^2+1}\,dx.$$
$x=1+\tan t$ と置換する。$-\frac\pi4\leqq t\leqq0$ では $\tan t$ は単調増加であり、$x$ の両端 $0,1$ に対応する。
$dx=(1+\tan^2t)\,dt$ なので
$$S=\int_{-\frac\pi4}^{0}(1+\tan t)\,dt.$$
この区間では $\cos t>0$ であり、$\frac{d}{dt}(-\log\cos t)=\tan t$ である。
よって
$$S=\left[t-\log\cos t\right]_{-\frac\pi4}^{0} =\frac\pi4-\frac12\log2.$$