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弘前大学／2026年度／前期

1弘前大学 2026年 数学 第1問解答・解説

図形と計量

難易度勝負 レベル 4/10 目安 20分編集部の評価

対象人文社会・教育・農など医学科は解かない

1問題

弘前大学2026年度第1問
aa を 0<a≦10<a\leqq1 を満たす定数とする。1 辺の長さが 2 である正三角形 ABC\mathrm{ABC} の辺 AB\mathrm{AB}、BC\mathrm{BC}、CA\mathrm{CA} 上にそれぞれ点 P, Q, R\mathrm{P},\,\mathrm{Q},\,\mathrm{R} を AP=BQ=CR=a\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}=a となるようにとる。次の問いに答えよ。

(1) PR\mathrm{PR} の長さを aa を用いて表せ。

(2) △ABC\triangle\mathrm{ABC} の面積が △PQR\triangle\mathrm{PQR} の面積の 2 倍となるとき、aa の値および sin⁡∠ARP\sin\angle\mathrm{ARP} の値を求めよ。

出典：弘前大学 2026年度 前期 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    PR=3a2−6a+4\mathrm{PR}=\sqrt{3a^{2}-6a+4}
  • (2)
    a=3−33a=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}、sin⁡∠ARP=6−24\sin\angle\mathrm{ARP}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

△APR\triangle\mathrm{APR} は AP=a\mathrm{AP}=a、AR=2−a\mathrm{AR}=2-a、∠A=60∘\angle\mathrm{A}=60^{\circ} の三角形で、余弦定理で PR\mathrm{PR} が出る。△PQR\triangle\mathrm{PQR} は △ABC\triangle\mathrm{ABC} から合同な 3 つの三角形を除いたもの。(2) の sin⁡∠ARP\sin\angle\mathrm{ARP} は正弦定理で求める。

解答

(1)

AR=CA−CR=2−a\mathrm{AR}=\mathrm{CA}-\mathrm{CR}=2-a。△APR\triangle\mathrm{APR} で余弦定理より
PR2=a2+(2−a)2−2a(2−a)cos⁡60∘=3a2−6a+4. \mathrm{PR}^{2}=a^{2}+(2-a)^{2}-2a(2-a)\cos60^{\circ}=3a^{2}-6a+4.
よって PR=3a2−6a+4\mathrm{PR}=\sqrt{3a^{2}-6a+4}。

(2)

△APR\triangle\mathrm{APR}、△BQP\triangle\mathrm{BQP}、△CRQ\triangle\mathrm{CRQ} は合同で、面積はそれぞれ 12a(2−a)sin⁡60∘=34a(2−a)\dfrac{1}{2}a(2-a)\sin60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a(2-a)。△ABC=3\triangle\mathrm{ABC}=\sqrt{3} だから
△PQR=3−334a(2−a). \triangle\mathrm{PQR}=\sqrt{3}-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}a(2-a).
3=2△PQR\sqrt{3}=2\triangle\mathrm{PQR} より 32a(2−a)=1\dfrac{3}{2}a(2-a)=1、3a2−6a+2=03a^{2}-6a+2=0、a=3±33a=\dfrac{3\pm\sqrt{3}}{3}。0<a≦10<a\leqq1 より a=3−33a=\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}。

このとき 3a2−6a=−23a^{2}-6a=-2 だから PR2=2\mathrm{PR}^{2}=2、PR=2\mathrm{PR}=\sqrt{2}。△APR\triangle\mathrm{APR} で正弦定理より
sin⁡∠ARP=APsin⁡60∘PR=3a22=64⋅3−33=6−24. \sin\angle\mathrm{ARP}=\dfrac{\mathrm{AP}\sin60^{\circ}}{\mathrm{PR}}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\cdot\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 余弦定理
  • 正弦定理
  • 三角形の面積の公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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