2香川大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) $m\ne0$ のとき、$\ell_1$ の傾きは $-m$、$\ell_2$ を
$$y=\frac1m x+\frac{3-2m}{m}$$
と変形すると傾きは $1/m$ であるから、傾きの積は $-1$ である。$m=0$ のときは $\ell_1:y=1$、$\ell_2:x=-3$ であり、一方は水平、他方は垂直なので、どの実数 $m$ に対しても二直線は垂直である。

(2) $\ell_1$ の方程式は
$$mx+y=m+1\quad\text{すなわち}\quad m(x-1)+(y-1)=0$$
と書ける。従って $(1,1)$ はすべての $m$ について $\ell_1$ 上にある。例えば $m=0$ のときの直線は $y=1$、$m=1$ のときは $x+y=2$ であり、この二直線の交点は $(1,1)$ だから、共通点はこれである。

(3) 交点を $(x,y)$ とすると、第一式から $y=m+1-mx$。これを第二式に代入して
$$x-m(m+1-mx)=2m-3,$$
よって
$$x=\frac{m^2+3m-3}{m^2+1},\qquad y=\frac{-2m^2+4m+1}{m^2+1}.$$
分母 $m^2+1$ は常に正なので、各 $m$ について交点は一つに定まる。

ここで
$$u=\frac{m^2-1}{m^2+1},\qquad v=\frac{2m}{m^2+1}$$
とおくと、$u^2+v^2=1$、また $m>0$ より $v>0$ である。交点の座標は
$$x=-1+2u+\frac32v,\qquad y=-\frac12-\frac32u+2v$$
と表されるから、
$$\begin{aligned} \left(x+1\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2 &=\left(2u+\frac32v\right)^2+\left(-\frac32u+2v\right)^2\\ &=\frac{25}{4}(u^2+v^2)=\frac{25}{4},\\ 3x+4y+5&=\frac{25}{2}v>0. \end{aligned}$$$${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2={\left(2u+\frac{3}{2}v\right)}^2+{\left(-\frac{3}{2}u+2v\right)}^2$$$$=\frac{25}{4}(u^2+v^2)=\frac{25}{4},$$$$3x+4y+5=\frac{25}{2}v>0.$$
逆に、$X=x+1,\ Y=y+\frac12$ とすると、上の座標表示を解いて
$$u=\frac{8X-6Y}{25},\qquad v=\frac{6X+8Y}{25}$$
を得る。この二式から $u^2+v^2=\frac4{25}(X^2+Y^2)$ であり、円の方程式は $u^2+v^2=1$ に等しい。また $3x+4y+5=\frac{25}{2}v$ なので、指定された側はちょうど $v>0$ に当たる。このとき $u^2+v^2=1$ より $m=v/(1-u)>0$ とおけて、計算すると $u=(m^2-1)/(m^2+1),\ v=2m/(m^2+1)$ となる。したがって円上で $3x+4y+5>0$ を満たすすべての点が、正の実数 $m$ によって得られる。軌跡は
$$\left(x+1\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2=\frac{25}{4},\qquad 3x+4y+5>0$$
で表される開半円弧である。直径の端点は $(-3,1),(1,-2)$ で、いずれも $m=0$ または $m\to+\infty$ に対応するため軌跡に含まれない。例えば $m=1/2$ のとき $(-1,2)$ を通るので、この半円弧を図示できる。