弘前大学 2026年数学第2問（人文社会・教育・農など）解答・解説

1問題

弘前大学2026年度第2問

c

を実数とし、

n

を自然数とする。実数

c

と、

2n

以下のすべての自然数

1,\,2,\,\cdots,\,2n

を並べた

2n+1

個の値

c,\,1,\,2,\,\cdots,\,2n

からなるデータについて、その平均値を

A(c)

、中央値を

M(c)

、分散を

V(c)

とする。次の問いに答えよ。

(1)

A(c)

を

n

と

c

を用いて表せ。

(2)

M(c)=n

となる

c

の値の範囲を求めよ。

(3)

c

が (2) で求めた範囲を動くとき、

V(c)

の最小値を

n

を用いて表せ。

出典：弘前大学 2026年度前期数学第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$A(c)=\dfrac{c}{2n+1}+n$
(2)
$c\leqq n$
(3)
$\dfrac{4n^{4}+2n^{3}-n^{2}+n}{3(2n+1)^{2}}$ （ $c=n$ のとき）

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

中央値は小さいほうから

n+1

番目の値で、

c

がどこに入るかで変わる。分散は「2 乗の平均 − 平均の 2 乗」で

c

の 2 次関数になり、軸

c=n+\dfrac{1}{2}

が範囲

c\leqq n

の外にあるので、端

c=n

で最小になる。

解答

(1)

1+2+\cdots+2n=n(2n+1)

だから

A(c)=\dfrac{c+n(2n+1)}{2n+1}=\dfrac{c}{2n+1}+n.

(2)

M(c)

は小さいほうから

n+1

番目の値である。

c\leqq n

のとき、小さいほうから

n+1

個は

c,\,1,\,\cdots,\,n

で、

n+1

番目は

n

。

n<c<n+1

のとき

n+1

番目は

c

、

c\geqq n+1

のとき

n+1

。よって

M(c)=n

となるのは

c\leqq n

のときである。

(3)

1^{2}+2^{2}+\cdots+(2n)^{2}=\dfrac{n(2n+1)(4n+1)}{3}

だから

V(c)=\dfrac{c^{2}}{2n+1}+\dfrac{n(4n+1)}{3}-\left(\dfrac{c}{2n+1}+n\right)^{2}=\dfrac{2n}{(2n+1)^{2}}\{c^{2}-(2n+1)c\}+\dfrac{n(n+1)}{3}.

これは

c

の 2 次関数で、軸は

c=n+\dfrac{1}{2}

。

c\leqq n

では減少するから、

c=n

で最小となり

V(n)=-\dfrac{2n\cdot n(n+1)}{(2n+1)^{2}}+\dfrac{n(n+1)}{3}=\dfrac{n(n+1)(4n^{2}-2n+1)}{3(2n+1)^{2}}=\dfrac{4n^{4}+2n^{3}-n^{2}+n}{3(2n+1)^{2}}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

平均値と中央値
分散の公式
2次関数の最小値

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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