2愛媛大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1)(ii) は $x=1$ を 3 つの不等式に代入して $t$ の条件にする。(2)(ii) は $\dfrac{1}{k!}\leqq\dfrac{1}{2^{k-1}}$ で等比数列の和で上から押さえる。(3) は $\log_{2}3$ と $\dfrac{3}{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}$ を比べ、$\log_{3}2<1$ を使う。

(1)

(i)

$D_{1}$ は、原点中心、半径 $\sqrt{10}$ の円の周および内部のうち、直線 $y=-2x$ の上側（$y\geqq-2x$）の部分で、境界を含む。直線と円の交点は $(\sqrt{2},\,-2\sqrt{2})$、$(-\sqrt{2},\,2\sqrt{2})$ で、$D_{1}$ はこの 2 点を結ぶ直径の上側の半円である。

(ii)

$\mathrm{P}(1,\,t)$ が $D_{1}$ に属する条件は $1+t^{2}\leqq10$ かつ $t\geqq-2$、すなわち $-2\leqq t\leqq3$。$D_{2}$ に属さない条件は $1+t^{2}>4$、すなわち $t<-\sqrt{3}$ または $t>\sqrt{3}$。よって
$$-2\leqq t<-\sqrt{3},\quad\sqrt{3}<t\leqq3.$$

(2)

(i)

$n=1$ のとき $1!=1=2^{0}$ で成り立つ。$n=k$ で $k!\geqq2^{k-1}$ と仮定すると、$k+1\geqq2$ だから
$$(k+1)!=(k+1)\cdot k!\geqq2\cdot2^{k-1}=2^{k}$$
で、$n=k+1$ でも成り立つ。よって、すべての自然数 $n$ で成り立つ。

(ii)

(i) より $\dfrac{1}{k!}\leqq\dfrac{1}{2^{k-1}}$ だから
$$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k!}\leqq\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k-1}=2\left\{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right\}<2.$$

(3)

$\dfrac{3}{2}=\log_{2}2^{\frac{3}{2}}=\log_{2}2\sqrt{2}$ で、$(2\sqrt{2})^{2}=8<9=3^{2}$ より $2\sqrt{2}<3$、底 2 は 1 より大きいから $\dfrac{3}{2}<\log_{2}3$。また $\log_{3}2<\log_{3}3=1<\dfrac{3}{2}$。よって
$$\log_{3}2<\dfrac{3}{2}<\log_{2}3.$$