8弘前大学 2026年 数学 第8問解答・解説

(1)

$z=x+yi$とおいて両辺を平方すると、$x^{2}+(y-2)^{2}=k^{2}(x^{2}+y^{2})$、すなわち$(1-k^{2})(x^{2}+y^{2})-4y+4=0$である。
$k=1$なら$y=1$となる。$k\ne1$なら平方完成して
$$x^{2}+\left(y-\dfrac{2}{1-k^{2}}\right)^{2}=\dfrac{4k^{2}}{(1-k^{2})^{2}}$$
を得る。$k>0$なので、半径は正の数である。

(2)

実軸上では$y=0$である。元の式の両辺を平方すると$x^{2}+4=k^{2}x^{2}$、したがって$(k^{2}-1)x^{2}=4$となる。
実数$x$が存在するのは$k^{2}-1>0$のときであり、$k>0$なので$k>1$である。
$k=1$の直線$y=1$も実軸と交わらない。