4秋田大学 2022年 数学 第4問解答・解説

原点を $\mathrm{O}$ とする座標空間に 4 点 $\mathrm{A}(0,\,0,\,5)$、$\mathrm{B}(4,\,0,\,0)$、$\mathrm{C}(0,\,3,\,0)$、$\mathrm{D}(5,\,4,\,0)$ をとる。$\triangle\mathrm{ABO}$、$\triangle\mathrm{ACO}$、$\triangle\mathrm{ACD}$ の重心をそれぞれ $\mathrm{G}$、$\mathrm{H}$、$\mathrm{I}$ とする。次の問いに答えなさい。

(i) $\mathrm{G}$、$\mathrm{H}$、$\mathrm{I}$ の座標をそれぞれ求めなさい。また、$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{HI}}$ の内積を求めなさい。

(ii) 線分 $\mathrm{BD}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする。直線 $\mathrm{AE}$ 上の点 $\mathrm{P}$ が 3 点 $\mathrm{G}$、$\mathrm{H}$、$\mathrm{I}$ と同一平面上にあるとき、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を成分で表しなさい。

(iii) 線分 $\mathrm{AD}$ を $3:2$ に内分する点を $\mathrm{F}$ とする。線分 $\mathrm{BF}$ 上に点 $\mathrm{Q}$ があり、$\triangle\mathrm{QAB}$、$\triangle\mathrm{QBD}$、$\triangle\mathrm{QDA}$ の面積比が $3:2:5$ であるとき、$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ を成分で表しなさい。