4弘前大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $u=\cos x$ とおくと $du=-\sin x\,dx$ で、積分区間は $u=1$ から $u=1/2$ へ移る。したがって
$$\begin{aligned} I_1&=\int_{1/2}^{1}\frac{du}{u(1+u)} =\int_{1/2}^{1}\left(\frac1u-\frac1{1+u}\right)du\\ &=[\log u-\log(1+u)]_{1/2}^{1} =\log3-\log2 =\log\frac32. \end{aligned}$$$$I_1={\int }_{1/2}^1\frac{du}{u(1+u)}={\int }_{1/2}^1\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}\right)du$$$$=[\log u-\log (1+u){]}_{1/2}^1=\log 3-\log 2=\log \frac{3}{2}.$$

(2) $I_2=\int_1^e x(\log x)^2\,dx$ とする。部分積分を一度行うと
$$I_2=\left[\frac{x^2}{2}(\log x)^2\right]_1^e-\int_1^e x\log x\,dx =\frac{e^2}{2}-J.$$
さらに $J=\int_1^e x\log x\,dx$ に部分積分を行えば
$$J=\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_1^e-\frac12\int_1^e x\,dx =\frac{e^2+1}{4}.$$
ゆえに
$$I_2=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2+1}{4}=\frac{e^2-1}{4}.$$

第1積分は $u=\cos x$ の置換と部分分数分解を用いる。第2積分は部分積分を二回使い、端点で $\log e=1,\log1=0$ を代入する。