3弘前大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$p,\,q$ を定数とし、さらに $q\neq0$ とする。$xy$ 平面上の点 $\mathrm{O}(0,\,0)$、点 $\mathrm{A}(1,\,0)$、点 $\mathrm{B}(p,\,q)$ に対し、線分 $\mathrm{OA}$ を $3:1$ の比に内分する点を $\mathrm{C}$、線分 $\mathrm{OB}$ を $2:1$ の比に内分する点を $\mathrm{D}$ とする。直線 $\mathrm{BC}$ と直線 $\mathrm{AD}$ の交点を $\mathrm{E}$ とするとき、次の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を用いて表せ。

(2) 点 $\mathrm{B}$ が円 $x^{2}+(y-3)^{2}=1$ 上を動くとき、点 $\mathrm{E}$ の軌跡を求めよ。

(3) (2) において、線分 $\mathrm{OE}$ の長さが最小になるときの点 $\mathrm{B}$ の座標を求めよ。