9弘前大学 2025年 数学 第9問解答・解説

$a_{n+1}=f(a_{n})$ で、$x>0$ での $f(x)$ の最小値が 3 であることから (2) が言える。(3) は $f(x)-3$ を因数分解し、$x\geqq3$ で $\dfrac{2x+3}{x^{2}}\leqq1$ を示す。

(1)

定義域は $x\neq0$。
$$f'(x)=\dfrac{2}{3}-\dfrac{18}{x^{3}}=\dfrac{2(x^{3}-27)}{3x^{3}}.$$
$x<0$ では分子・分母ともに負で $f'(x)>0$、$0<x<3$ で $f'(x)<0$、$x>3$ で $f'(x)>0$。よって $f(x)$ は $x<0$ で増加、$0<x\leqq3$ で減少、$x\geqq3$ で増加し、$x=3$ で極小値 $f(3)=2+1=3$ をとる。極大値はない。

(2)

$a_{n+1}=f(a_{n})$ である。$a_{1}=4\geqq3$。$a_{k}\geqq3$ と仮定すると $a_{k}>0$ で、(1) より $x>0$ での $f(x)$ の最小値は 3 だから $a_{k+1}=f(a_{k})\geqq3$。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ で $a_{n}\geqq3$。

(3)

$$f(x)-3=\dfrac{2x^{3}-9x^{2}+27}{3x^{2}}=\dfrac{(x-3)^{2}(2x+3)}{3x^{2}}.$$
$x\geqq3$ のとき $x^{2}-(2x+3)=(x-3)(x+1)\geqq0$ より $\dfrac{2x+3}{x^{2}}\leqq1$ だから
$$f(x)-3\leqq\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}.$$
(2) より $a_{n}\geqq3$ だから、$x=a_{n}$ として $a_{n+1}-3\leqq\dfrac{1}{3}(a_{n}-3)^{2}$。