4秋田大学 2023年 数学 第4問解答・解説

座標平面上に 3 点 $\mathrm{A}(1,\,1)$、$\mathrm{B}(4,\,5)$、$\mathrm{C}(6,\,1)$ をとる。次の問いに答えなさい。

(i) 線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に外分する点 $\mathrm{D}$ の座標を求めなさい。

(ii) (i) の点 $\mathrm{D}$ を通り、$\vec{u}=(1,\,-2)$ を方向ベクトルとする直線を $\ell$ とする。媒介変数 $t$ を用いた $\ell$ の媒介変数表示を求めなさい。ただし、$t=0$ のときの点を $\mathrm{D}$ とする。また、媒介変数を消去した式も求めなさい。

(iii) 点 $\mathrm{P}$ が (ii) の直線 $\ell$ 上にあるとする。$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ の内積が $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の内積と等しいとき、$\mathrm{P}$ の座標を求めなさい。