1弘前大学 2025年 数学 第1問解答・解説

$t$ の 2 次式は $(2t+1)(2t+3-2a)$ と因数分解できる。$t$ の値 1 つに対し、$x$ は $-1<t<1$ なら 2 個、$t=\pm1$ なら 1 個。$t=-\dfrac{1}{2}$ からいつも 2 個出るので、もう一方の解 $t=a-\dfrac{3}{2}$ から解が増えない条件を求める。

(1)

$\cos2x=2t^{2}-1$ より
$$f(x)=4t^{2}-4(a-2)t-(2a-3).$$

(2)

(1) の式は $(2t+1)(2t+3)-2a(2t+1)=(2t+1)(2t+3-2a)$ と因数分解でき、$t=-\dfrac{1}{2},\ a-\dfrac{3}{2}$ である。

$t=-\dfrac{1}{2}$ からは $x=\dfrac{2}{3}\pi,\,\dfrac{4}{3}\pi$ の 2 個が必ず得られる。解がちょうど 2 個となるのは、$t=a-\dfrac{3}{2}$ から新しい解が得られないときで

・$a-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}$、すなわち $a=1$
・$a-\dfrac{3}{2}<-1$ または $a-\dfrac{3}{2}>1$、すなわち $a<\dfrac{1}{2}$ または $a>\dfrac{5}{2}$

である（$a-\dfrac{3}{2}=\pm1$ なら 1 個増えて 3 個、それ以外の $-1<t<1$ なら 2 個増えて 4 個）。

よって $a<\dfrac{1}{2},\ a=1,\ \dfrac{5}{2}<a$。