4大阪大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$c=a^2+b^2$、$s=c-1$ とおく。条件より $s>0$、また $b\ne0$ である。

(1) $Q$ は直線 $AP$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて
$$\overrightarrow{AQ}=\lambda\overrightarrow{AP}$$
と書ける。$b\ne0$ より $\overrightarrow{AP}\ne\vec0$。さらに $OQ\perp AP$ だから
$$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AQ} =-\overrightarrow{AO}+\lambda\overrightarrow{AP},\qquad 0=\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{AP} =-\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AP}+\lambda|\overrightarrow{AP}|^2.$$
よって $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO}=\lambda|\overrightarrow{AP}|^2$ であり、
$$|\overrightarrow{AQ}|^2=\lambda^2|\overrightarrow{AP}|^2 =\frac{(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO})^2}{|\overrightarrow{AP}|^2}.$$
したがって
$$\boxed{(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO})^2 =|\overrightarrow{AP}|^2|\overrightarrow{AQ}|^2}.$$

(2) $OQ\perp AQ$ なので、直角三角形 $AOQ$ で
$$|AO|^2=|OQ|^2+|AQ|^2.$$
また $|AO|^2=c$ であるから、$|OQ|=1$ は $|AQ|^2=c-1=s$ と同値である。座標から
$$\overrightarrow{AP}=(x-a,y,-b),\qquad \overrightarrow{AO}=(-a,0,-b),$$
$$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AO}=c-ax,\qquad |\overrightarrow{AP}|^2=(x-a)^2+y^2+b^2.$$
(1)を使うと、求める軌跡は
$$(c-ax)^2=s\bigl((x-a)^2+y^2+b^2\bigr)$$
で表される。展開して整理すると
$$\boxed{(1-b^2)x^2-sy^2-2ax+c=0},\qquad s=a^2+b^2-1>0.$$
この変形は $|OQ|=1$ と同値であり、余分な点は加わらない。

$b^2<1$ のとき、平方完成すると
$$(1-b^2)\left(x-\frac{a}{1-b^2}\right)^2-sy^2 =\frac{b^2s}{1-b^2},$$
したがって
$$\frac{\left(x-\frac{a}{1-b^2}\right)^2}{\frac{b^2s}{(1-b^2)^2}} -\frac{y^2}{\frac{b^2}{1-b^2}}=1.$$
これは双曲線である。

$b^2=1$ のとき、$s=a^2>0$ なので $a\ne0$ であり、軌跡の式は
$$2ax+a^2y^2=a^2+1$$
となる。これは放物線である。

$b^2>1$ のとき、平方完成すると
$$(b^2-1)\left(x+\frac{a}{b^2-1}\right)^2+sy^2 =\frac{b^2s}{b^2-1},$$
したがって
$$\frac{\left(x+\frac{a}{b^2-1}\right)^2}{\frac{b^2s}{(b^2-1)^2}} +\frac{y^2}{\frac{b^2}{b^2-1}}=1.$$
これは楕円である。いずれも分母は正であるため、各場合で実際の二次曲線となる。