群馬大学 2025年数学第3問解答・解説

1問題

群馬大学2025年度第3問

次の定積分を求めよ。

(1)

\displaystyle \int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{x + 1}}\,dx

(2)

\displaystyle \int_0^1\dfrac{x^3}{\sqrt{2 - x^2}}\,dx

(3)

\displaystyle \int_0^1\dfrac{x^2}{(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2}}\,dx

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

(1)\

u=x+1

とおくと

x=u-1

,\

dx=du

で、積分区間は

1

から

2

となる。

\int_0^1\frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx=\int_1^2(u^{1/2}-u^{-1/2})\,du=\left[\frac23u^{3/2}-2u^{1/2}\right]_1^2=\frac{4-2\sqrt2}{3}

.

(2)\

u=2-x^2

とおくと

x\,dx=-\frac12\,du

,\

x^2=2-u

で、積分区間は

2

から

1

となる。

\int_0^1\frac{x^3}{\sqrt{2-x^2}}\,dx=\frac12\int_1^2(2u^{-1/2}-u^{1/2})\,du=\left[2u^{1/2}-\frac13u^{3/2}\right]_1^2=\frac{4\sqrt2-5}{3}

.

(3)\

x=\tan\theta

とおく。

x=0,1

に対応する

\theta

は

0,\quad\frac\pi4

であり、

dx=\frac{d\theta}{\cos^{2}\theta}

、

\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{\cos\theta}

（

0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{4}

で

\cos\theta>0

）。よって

\int_0^1\frac{x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\,dx=\int_0^{\pi/4}\frac{\sin^{2}\theta}{\cos\theta}\,d\theta=\int_0^{\pi/4}\left(\frac{1}{\cos\theta}-\cos\theta\right)d\theta=\left[\log\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}-\sin\theta\right]_0^{\pi/4}=\log(1+\sqrt2)-\frac1{\sqrt2}

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。