2宮崎大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) $\cos2\theta=2t^2-1$ をもう一度倍角公式に入れると

$\cos4\theta=2(2t^2-1)^2-1=8t^4-8t^2+1$。

(2) 等式は $8t^4-8t^2-t+1=0$ となり、左辺は $(t-1)(2t+1)(4t^2+2t-1)$ と因数分解できる。根は $1,\ -\frac12,\ \frac{-1\pm\sqrt5}{4}$。角度範囲から $-1<t\leqq1$。四根はいずれもこの範囲にある（特に $\sqrt5<3$ なので負の二次根も−1より大きい）ため、すべて解となる。

(3) $y=\frac{\pi}{5}$, $c=\cos y$ とおく。三倍角と倍角から $4c^3-3c=\cos3y=-\cos2y=-(2c^2-1)$。したがって $(c+1)(4c^2-2c-1)=0$。$0<c<1$ だから $c=\frac{1+\sqrt5}{4}$。求める和は

$\sin^2y+\sin^22y=(1-c^2)+4c^2(1-c^2)=1+3c^2-4c^4$。

$c^2=\frac{3+\sqrt5}{8},\quad c^4=\frac{7+3\sqrt5}{32}$ を代入すると、$1+\frac{9+3\sqrt5}{8}-\frac{7+3\sqrt5}{8}=\frac54$。

答

(1) $8t^4-8t^2+1$。

(2) $t=1,\ -\frac12,\ \frac{-1+\sqrt5}{4},\ \frac{-1-\sqrt5}{4}$。

(3) $\frac54$。