3秋田大学 2024年 数学 第3問解答・解説

2 倍角の公式で $\cos\theta$ の 2 次式にし、$x=2\cos\theta\ (-2\leqq x\leqq2)$ とおく。(iv) では、$x$ の 1 つの値に対する $\theta$ の個数が、$-2<x<2$ なら 2 個、$x=\pm2$ なら 1 個であることに注意して数える。

(i)

$\cos2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ より $y=4\cos^{2}\theta+4\cos\theta+a+1$。$x=2\cos\theta$ とおくと
$$y=x^{2}+2x+a+1=(x+1)^{2}+a.$$

(ii)

$-2\leqq x\leqq2$ だから、$x=2$（$\theta=0$）で最大値 $a+9$、$x=-1$（$\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$、$\theta=\dfrac{2}{3}\pi,\,\dfrac{4}{3}\pi$）で最小値 $a$ をとる。

(iii)

$a=0$ のとき $(x+1)^{2}=0$ より $x=-1$、$\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$ だから $\theta=\dfrac{2}{3}\pi,\,\dfrac{4}{3}\pi$。

(iv)

$x$ の値 1 つに対し、$\theta$ は $-2<x<2$ なら 2 個、$x=\pm2$ なら 1 個ある。

$y=0$ は $(x+1)^{2}=-a$ である。$a>0$ なら解はない。$a=0$ なら $x=-1$ だけで、$\theta$ は 2 個。

$a<0$ のとき $s=\sqrt{-a}>0$ とおくと $x=-1+s,\ -1-s$ で、
・$0<s<1$：2 つとも $-2<x<2$ にあり、$\theta$ は 4 個。
・$s=1$：$x=0$（2 個）と $x=-2$（1 個）で 3 個。
・$1<s<3$：$x=-1+s$ だけが $0<x<2$ にあり、2 個。
・$s=3$：$x=2$ だけで 1 個。$s>3$：0 個。

$1<s<3$ は $-9<a<-1$ だから、求める範囲は $-9<a<-1,\ a=0$。