1金沢大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1) 積の微分法から
$$f'(x)=e^{-x}(\cos x-\sin x),\qquad g'(x)=e^{-x}(-\sin x-\cos x).$$

(2) $H(x)=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)$ とおくと $H'(x)=e^{-x}\sin x$。従って
$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}e^{-x}\sin x\,dx =H((k+1)\pi)-H(k\pi) =\frac{(-1)^k}{2}\left(e^{-k\pi}+e^{-(k+1)\pi}\right).$$

(3) $k\pi\leqq x\leqq(k+1)\pi$ では $|\sin x|=(-1)^k\sin x$。よって
$$\int_0^{n\pi}e^{-x}|\sin x|\,dx =\frac{1+e^{-\pi}}2\sum_{k=0}^{n-1}e^{-k\pi} =\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}(1-e^{-n\pi}).$$
ここで $e^{-n\pi}\to0$ だから，求める極限は
$$\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}=\frac{e^\pi+1}{2(e^\pi-1)}.$$

(1) $e^{-x}$ と $\sin x$ / $\cos x$ の積を微分した。(2) 原始関数を $H=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)$ とすれば、端点の $\sin$ は$0$、$\cos$ は$(-1)^k$と$(-1)^{k+1}$になる。(3) 各区間で$\sin x$の符号が一定なので(2)の積分を絶対値付きの正の値へ直し、等比数列の和を計算する。残る$e^{-n\pi}$が$0$へ収束し、極限を得る。