1大阪公立大学 2024年 数学 第1問解答・解説

問1は差の2階導関数の非負性から示し、問2と問3では得られる上下評価を和・積分に移して、はさみうちの原理で極限を求める。

問1について、$f(x)=\sin x-x+\dfrac{x^2}{2}$ とおくと、$f''(x)=1-\sin x\geqq 0$ である。したがって $f'$ は $x\geqq0$ の範囲で増加し，$f'(0)=0$ より $f'(x)\geqq 0$ となる。ゆえに $f$ も増加し，$f(0)=0$ から $f(x)\geqq 0$ である。これは $x-\frac{x^2}{2}\leqq\sin x$ を示す。

問2では，上からの評価も得る。$g(x)=x-\sin x$ とおくと，$g'(x)=1-\cos x\geqq 0$，$g(0)=0$ なので，$x\geqq 0$ に対して $\sin x\leqq x$ である。問1と合わせると $x-\frac{x^2}{2}\leqq\sin x\leqq x$ となる。これを $x=\frac{k}{n^2}\;(1\leqq k\leqq n)$ に適用し，和をとると
$$\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k-\frac{1}{2n^4}\sum_{k=1}^{n}k^2\leqq a_n\leqq\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n}k.$$
$\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$，$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ より
$$\frac{n+1}{2n}-\frac{(n+1)(2n+1)}{12n^3}\leqq a_n\leqq\frac{n+1}{2n}.$$
両端は $n\to\infty$ でともに $\frac12$ に収束するので，はさみうちの原理から $\lim_{n\to\infty}a_n=\frac12$ である。

問3では $I_n=\int_{1/n}^{2/n}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx$ とおく。積分区間では $x>0$ だから，問2で得た評価を $\sqrt{x}$ で割って積分すると
$$\int_{1/n}^{2/n}\left(\sqrt{x}-\frac12x^{3/2}\right)dx\leqq I_n\leqq\int_{1/n}^{2/n}\sqrt{x}\,dx.$$
したがって
$$C n^{-3/2}-D n^{-5/2}\leqq I_n\leqq C n^{-3/2},\qquad C=\frac23(2\sqrt2-1),\quad D=\frac{2^{5/2}-1}{5}.$$
ここで $C>0$ である。両辺に $n^{3/2}$ をかけるとはさみうちの原理から $n^{3/2}I_n\to C$ を得る。よって
$$b_n=n^{\alpha-3/2}\bigl(n^{3/2}I_n\bigr).$$
$\alpha<\frac32$ なら $n^{\alpha-3/2}\to0$ なので $b_n\to0$，$\alpha=\frac32$ なら $b_n\to C$ である。一方 $\alpha>\frac32$ なら $n^{\alpha-3/2}\to+\infty$ かつ $n^{3/2}I_n\to C>0$ なので $b_n\to+\infty$ となり，有限の極限をもたない。以上より，収束する範囲は $\alpha\leqq\frac32$ である。