4九州大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)
まず、3 点を通る直線の向きを調べる。直線の向きを、互いに素な整数の組 $(p,\,q)$ で表す。格子点の範囲（正方形）と直線の共通部分は線分なので、直線上の格子点は、ある格子点 $A$ から $(p,\,q)$ ずつ進んだ連続した点である。したがって、3 点を通る直線には、$A$、$A+(p,\,q)$、$A+2(p,\,q)$ がすべて格子点になる $A$ がある。
このとき x 座標の差 $2|p|$ と y 座標の差 $2|q|$ は、どちらも $n-1$ 以下である。
$$2|p|\leqq n-1,\qquad 2|q|\leqq n-1$$
直線の本数を数えるとき、向き $(1,\,0)$ は横の直線、$(0,\,1)$ は縦の直線、$(1,\,1)$ は直線 $y=x+c$、$(1,\,-1)$ は直線 $x+y=c$ である。直線 $y=x+c$ 上の格子点は $n-|c|$ 個なので、3 点以上を含むのは $n-|c|\geqq 3$ のときである。向き $(1,\,-1)$ は、y を $n+1-y$ に写すと向き $(1,\,1)$ に移り、格子は変わらないので、本数は同じである。

(2)
$n=3$ のとき、$|p|\leqq 1$、$|q|\leqq 1$ なので、向きは $(1,\,0)$、$(0,\,1)$、$(1,\,1)$、$(1,\,-1)$ の 4 種類である。
向き $(1,\,0)$ は $y=1,\,2,\,3$ の 3 本、向き $(0,\,1)$ は $x=1,\,2,\,3$ の 3 本。向き $(1,\,1)$ は $3-|c|\geqq 3$ より $c=0$ の 1 本、向き $(1,\,-1)$ も 1 本である。
よって $L(3)=3+3+1+1=8$。

(3)
$n=4$ のとき、$2|p|\leqq 3$、$2|q|\leqq 3$ より $|p|\leqq 1$、$|q|\leqq 1$ なので、向きは (2) と同じ 4 種類である。
向き $(1,\,0)$、$(0,\,1)$ はそれぞれ 4 本。向き $(1,\,1)$ は $4-|c|\geqq 3$ より $|c|\leqq 1$ の 3 本、向き $(1,\,-1)$ も 3 本である。
よって $L(4)=4+4+3+3=14$。

(4)
$n=5$ のとき、$2|p|\leqq 4$、$2|q|\leqq 4$ より $|p|\leqq 2$、$|q|\leqq 2$。互いに素な組で向きを表すと、$(1,\,0)$、$(0,\,1)$、$(1,\,\pm 1)$、$(1,\,\pm 2)$、$(2,\,\pm 1)$ の 8 種類（符号の反対を除いた数）である。
向き $(1,\,0)$、$(0,\,1)$ はそれぞれ 5 本。向き $(1,\,\pm 1)$ は $5-|c|\geqq 3$ より $|c|\leqq 2$ の 5 本ずつ。
向き $(1,\,2)$ の 3 点の組 $A$、$A+(1,\,2)$、$A+(2,\,4)$ は、$A$ の x 座標が 1 から 3、y 座標が 1 のときに限る。よって、直線は $(1,1),(2,3),(3,5)$ を通るもの、$(2,1),(3,3),(4,5)$ を通るもの、$(3,1),(4,3),(5,5)$ を通るものの 3 本である。どの直線にも 4 点目はない。
同様に、向き $(1,\,-2)$ は 3 本、向き $(2,\,1)$ は $A$ の x 座標が 1、y 座標が 1 から 3 の 3 本、向き $(2,\,-1)$ は $A$ の x 座標が 1、y 座標が 3 から 5 の 3 本である。
よって $L(5)=5+5+5+5+3+3+3+3=32$。
答えは、$L(3)=8$、$L(4)=14$、$L(5)=32$。