4滋賀医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) 部分積分によって
$$\int_0^a(a-x)e^x\,dx=[(a-x)e^x]_0^a+\int_0^a e^x\,dx =-a+(e^a-1).$$
移項して求める等式を得る。

(2) $(a-x)^n=-\{(a-x)^{n+1}/(n+1)\}'$ を用いて部分積分すると
$$\begin{aligned} \int_0^a(a-x)^ne^x\,dx &=\left[-\frac{(a-x)^{n+1}}{n+1}e^x\right]_0^a +\int_0^a\frac{(a-x)^{n+1}}{n+1}e^x\,dx\\ &=\frac{a^{n+1}}{n+1}+\int_0^a\frac{(a-x)^{n+1}}{n+1}e^x\,dx. \end{aligned}$$$${\int }_0^a(a-x{)}^n{e}^{x}dx={\left[-\frac{(a-x{)}^{n+1}}{n+1}{e}^x\right]}_0^a+{\int }_0^a\frac{(a-x{)}^{n+1}}{n+1}{e}^{x}dx$$$$=\frac{a^{n+1}}{n+1}+{\int }_0^a\frac{(a-x{)}^{n+1}}{n+1}{e}^{x}dx.$$

(3) (2) を $n=1,2$ の順に使うと
$$\begin{aligned} \int_0^a(a-x)e^x\,dx &=\frac{a^2}2+\frac12\int_0^a(a-x)^2e^x\,dx\\ &=\frac{a^2}2+\frac{a^3}6+\int_0^a\frac{(a-x)^3}6e^x\,dx. \end{aligned}$$$${\int }_0^a(a-x)e^{x}dx=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2}{\int }_0^a(a-x{)}^2{e}^{x}dx$$$$=\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}+{\int }_0^a\frac{(a-x{)}^3}{6}{e}^{x}dx.$$
これを (1) に代入すればよい。

(4) $0\leqq x\leqq a$ では $(a-x)^3\geqq0$，$e^x\leqq e^a$。従って
$$\int_0^a\frac{(a-x)^3}6e^x\,dx \leqq\frac{e^a}6\int_0^a(a-x)^3dx=\frac{a^4}{24}e^a.$$
(3) に代入すると題意の不等式を得る。

(5) (4) で $a=1$ とすると
$$e\leqq1+1+\frac12+\frac16+\frac e{24} =\frac83+\frac e{24},\qquad e\leqq\frac{64}{23}.$$
$64\cdot5=320<322=14\cdot23$ より $64/23<14/5=2.8$。従って $\boxed{e<2.8}$。