1名古屋市立大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

$\vec{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ とおくと、$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\vec{a}-\vec{p}$、$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\vec{b}-\vec{p}$ である。条件式から
$$5\vec{p}=(\vec{a}-\vec{p})-3(\vec{b}-\vec{p})=\vec{a}-3\vec{b}+2\vec{p}$$
従って $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$。

(2)

重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\dfrac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ である。直線 $\mathrm{PG}$ 上の点 $\mathrm{X}$ は、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+t(\overrightarrow{\mathrm{OG}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})$ と書けるから、
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\dfrac{1}{3}\vec{a}+\left(-1+\dfrac{4t}{3}\right)\vec{b}+\dfrac{t}{3}\vec{c}.$$
平面 $\mathrm{OAC}$ 上では $\vec{b}$ の係数が $0$ だから $t=\dfrac{3}{4}$。したがって $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{c}$ である。

(3)

$s=\dfrac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OA}}$ とし、$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s\vec{a}$、$u=\dfrac{1}{3}-s$ とおく。$\mathrm{PQ}$ を斜辺とするので、$\overrightarrow{\mathrm{RP}}\perp\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$ である。
$$\overrightarrow{\mathrm{RP}}=u\vec{a}-\vec{b},\qquad \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=u\vec{a}+\dfrac{1}{4}\vec{c}.$$
正四面体の一辺の長さを $L$ とすれば $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=L$、$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=\dfrac{L^{2}}{2}$ である。よって直交条件は
$$0=\overrightarrow{\mathrm{RP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=L^{2}\left(u^{2}-\dfrac{3}{8}u-\dfrac{1}{8}\right),$$
すなわち $8u^{2}-3u-1=0$ である。従って $u=\dfrac{3\pm\sqrt{41}}{16}$ で、
$$s=\dfrac{1}{3}-u=\dfrac{7\mp3\sqrt{41}}{48}.$$
$\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{OA}$ 上にあるので $0\leqq s\leqq1$ である。$7-3\sqrt{41}<0$ より負の値を除き、
$$\dfrac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OA}}=s=\dfrac{7+3\sqrt{41}}{48}.$$

位置ベクトルで条件を整理して $\mathrm{P}$ を求める。$\mathrm{PG}$ を媒介変数で表し、平面 $\mathrm{OAC}$ 上の条件で $\mathrm{Q}$ を定める。最後に正四面体の辺ベクトルの内積を使って $\overrightarrow{\mathrm{RP}}\perp\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$ を式にし、線分上の範囲で二次方程式の根を選ぶ。