4東北大学 2022年 数学 第4問解答・解説

2 つの円はどちらも第 1 象限内で $x$ 軸と $\ell$ に接するので、2 直線がつくる角の内部にあり、中心は角の二等分線 $y=tx$ 上にある。中心の座標を半径で表し、点と直線の距離と、2 円が外接する条件を使う。

2 つの円はどちらも第 1 象限内で $x$ 軸と $\ell$ に接するから、$x$ 軸と $\ell$ の間（$0<y<mx$ の部分）にあり、中心は 2 直線のなす角の二等分線上にある。円 $C$ の中心は直線 $y=tx$ 上にあるから、この二等分線が $y=tx$ である。

(1)

円 $C$ は $x$ 軸に接するから、中心の $y$ 座標は $a$ で、中心は $\left(\dfrac{a}{t},\,a\right)$ である。中心と直線 $mx-y=0$ の距離が $a$ で、中心は $y<mx$ の側にあるから
$$\dfrac{m\cdot\dfrac{a}{t}-a}{\sqrt{1+m^{2}}}=a\quad\text{より}\quad \dfrac{m}{t}=1+\sqrt{1+m^{2}}.$$
よって
$$t=\dfrac{m}{1+\sqrt{1+m^{2}}}=\dfrac{\sqrt{1+m^{2}}-1}{m}.$$

(2)

半径 $b$ の円の中心も $y=tx$ 上にあり、$\left(\dfrac{b}{t},\,b\right)$ である。2 円の中心の距離は
$$\sqrt{\left(\dfrac{b-a}{t}\right)^{2}+(b-a)^{2}}=\dfrac{(b-a)\sqrt{1+t^{2}}}{t}.$$
2 円は外接するから、これが $a+b$ に等しい。
$$(b-a)\sqrt{1+t^{2}}=t(a+b)\quad\text{より}\quad b\left(\sqrt{1+t^{2}}-t\right)=a\left(\sqrt{1+t^{2}}+t\right).$$
$\left(\sqrt{1+t^{2}}+t\right)\left(\sqrt{1+t^{2}}-t\right)=1$ だから
$$\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{1+t^{2}}+t}{\sqrt{1+t^{2}}-t}=\left(\sqrt{1+t^{2}}+t\right)^{2}.$$

(3)

(1) より $\dfrac{t}{m}=\dfrac{1}{1+\sqrt{1+m^{2}}}$ だから、$m\to +0$ のとき $t\to 0$、$\dfrac{t}{m}\to\dfrac{1}{2}$ である。

(2) より
$$\dfrac{b}{a}-1=2t^{2}+2t\sqrt{1+t^{2}}=2t\left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right)$$
だから
$$\lim_{m\to +0}\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{b}{a}-1\right)=\lim_{m\to +0}2\cdot\dfrac{t}{m}\left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 1=1.$$