5群馬大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1)
直線 $y=\dfrac{1}{2}x+k$ を楕円 $x^{2}+4y^{2}=4$ に代入すると
$$x^{2}+4\left(\dfrac{1}{2}x+k\right)^{2}=4$$
整理して $x^{2}+2kx+2k^{2}-2=0$ となる。異なる 2 点で交わるので、判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=k^{2}-(2k^{2}-2)=2-k^{2}>0$ である。よって $-\sqrt{2}<k<\sqrt{2}$。k は 0 でないので、求める範囲は $-\sqrt{2}<k<0,\ 0<k<\sqrt{2}$ である。

(2)
直線 $y=\dfrac{1}{2}x$ と楕円の交点は、$x^{2}+4\left(\dfrac{1}{2}x\right)^{2}=4$ より $2x^{2}=4$、すなわち $x=\pm\sqrt{2}$ である。x 座標の大きい方が A なので
$$\mathrm{A}\left(\sqrt{2},\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\quad \mathrm{B}\left(-\sqrt{2},\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
である。直線の傾きは $\dfrac{1}{2}$ で、x 座標の差は $2\sqrt{2}$ なので
$$\mathrm{AB}=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}=2\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{10}$$
となる。
P, Q は (1) の 2 次方程式の解 $x=-k\pm\sqrt{2-k^{2}}$ で、x 座標の差は $2\sqrt{2-k^{2}}$ である。よって
$$\mathrm{PQ}=\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}\cdot 2\sqrt{2-k^{2}}=\sqrt{5}\sqrt{2-k^{2}}$$
となる。AB と PQ は、ともに傾き $\dfrac{1}{2}$ の平行な直線上にあるので、台形 ABQP の上底と下底は AB と PQ である。2 直線 $x-2y=0$、$x-2y+2k=0$ の距離を高さ h とすると
$$h=\dfrac{|2k|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=\dfrac{2|k|}{\sqrt{5}}$$
である。よって
$$S=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{10}+\sqrt{5}\sqrt{2-k^{2}}\right)\cdot\dfrac{2|k|}{\sqrt{5}}=|k|\left(\sqrt{2}+\sqrt{2-k^{2}}\right)$$
となる。k>0 のとき $S=k\left(\sqrt{2}+\sqrt{2-k^{2}}\right)$、k<0 のとき $S=-k\left(\sqrt{2}+\sqrt{2-k^{2}}\right)$ である。

(3)
S は k の偶関数なので、$0<k<\sqrt{2}$ の範囲で最大値を求める。$f(k)=\sqrt{2}\,k+k\sqrt{2-k^{2}}$ とすると
$$f'(k)=\sqrt{2}+\sqrt{2-k^{2}}-\dfrac{k^{2}}{\sqrt{2-k^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2-k^{2}}-2(k^{2}-1)}{\sqrt{2-k^{2}}}$$
である。分子を $g(k)=\sqrt{2}\sqrt{2-k^{2}}-2(k^{2}-1)$ とおく。$0<k\leqq 1$ のとき $g(k)>0$ である。$1<k<\sqrt{2}$ では、$g(k)$ は減少し、$g(\sqrt{2})=-2<0$ なので、$g(k)=0$ となる k はただ 1 つある。
$g(k)=0$ とすると $\sqrt{2}\sqrt{2-k^{2}}=2(k^{2}-1)$ であり、両辺を 2 乗して整理すると $4k^{4}-6k^{2}=0$ となる。よって $k^{2}=\dfrac{3}{2}$、すなわち $k=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ である。
したがって $f$ は $0<k\leqq\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ で増加し、$\dfrac{\sqrt{6}}{2}\leqq k<\sqrt{2}$ で減少する。
$k=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ のとき $2-k^{2}=\dfrac{1}{2}$ より $\sqrt{2-k^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ であり、
$$S=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\left(\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{12}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$
となる。k が負のときも S の値は同じである。よって S の最大値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ であり、$k=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ のときにとる。