2富山大学 2024年 数学 第2問解答・解説

座標平面上の曲線 $C_{1}:x^{2}+y^{2}=1\ (y\geqq0)$ を考える。$C_{1}$ 上に2点 $A(-1,0), B(1,0)$ をとり、$\angle BAP=\theta\ (0<\theta<\frac{\pi}{6})$ となる $C_{1}$ 上の点を $P$ とする。弧 $AP$ を直線 $AP$ に関して対称に折り返した曲線において $x\geqq0$ を満たす部分を $C_{2}$ とし、$C_{2}$ と線分 $AB$ との交点を $Q$ とおく。

(1) 線分 $AQ$ の長さを $\theta$ を用いて表せ。

(2) 線分 $AP$、線分 $AQ$ および曲線 $C_{2}$ で囲まれた部分の面積を $f(\theta)$ とする。$f(\theta)$ を $\theta$ を用いて表せ。

(3) 弧 $BP$、線分 $BQ$ および曲線 $C_{2}$ で囲まれた部分の周囲の長さを $g(\theta)$ とする。$g(\theta)$ を $\theta$ を用いて表せ。

(4) (2)で求めた $f(\theta)$ と(3)で求めた $g(\theta)$ に対して、$\displaystyle \lim_{\theta\to+0}\frac{f(\theta)}{g(\theta)}$ を求めよ。