3東北大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) 有理化すると
$$\sqrt{1+x}-1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}.$$
$x>0$ より $1<\sqrt{1+x}<1+x$ だから
$$2<\sqrt{1+x}+1<2+x.$$
正の数 $x$ で割ると
$$\frac{x}{2+x}<\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}<\frac{x}{2},$$
従って求める不等式が成り立つ。

(2) (1)に $x=\frac{k}{n^2}$ を代入して $k=1,\ldots,n$ について足すと
$$\sum_{k=1}^n\frac{k}{2n^2+k}\leqq S_n\leqq\sum_{k=1}^n\frac{k}{2n^2}.$$
ここで $k\leqq n$ より $2n^2+k\leqq2n^2+n$ なので、左辺はさらに
$$\sum_{k=1}^n\frac{k}{2n^2+k}\geqq\frac{1}{2n^2+n}\sum_{k=1}^n k =\frac{n+1}{2(2n+1)}$$
と評価できる。一方、右辺は
$$\sum_{k=1}^n\frac{k}{2n^2}=\frac{n+1}{4n}.$$
したがって
$$\frac{n+1}{2(2n+1)}\leqq S_n\leqq\frac{n+1}{4n}.$$
両端はともに $n\to\infty$ で $\frac14$ に収束するから、はさみうちの原理により
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}S_n=\frac14}.$$