4香川大学 2023年 数学 第4問解答・解説

楕円の接線から法線を求め、2直線の式を消去して交点を表す。角度差の極限でRを求め、その媒介変数表示に弧長公式を適用する。

(1) 楕円上の点 $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$ における接線は $\frac{x\cos\theta}{a}+\frac{y\sin\theta}{b}=1$ である。したがってその傾きは $-\frac{b\cos\theta}{a\sin\theta}$ であり、法線の傾きは $\frac{a\sin\theta}{b\cos\theta}$ となる。よって、法線 $\ell$ は$$y-b\sin\theta=\frac{a\sin\theta}{b\cos\theta}(x-a\cos\theta)$$である。これを整理すると$$\boxed{a\sin\theta\,x-b\cos\theta\,y=(a^2-b^2)\sin\theta\cos\theta}.$$
(2) $c=\cos\theta, s=\sin\theta, c'=\cos\theta', s'=\sin\theta', D=a^2-b^2$ とおく。(1)より2本の法線の式は$$asx-bcy=Dsc,\qquad as'x-bc'y=Ds'c'$$である。異なる2点なので $\theta\ne\theta'$。また $0<\theta,\theta'<\frac{\pi}{2}$ より $\sin(\theta'-\theta)\ne0$ である。第1式に $c'$、第2式に $c$ を掛けて差をとると$$a(sc'-s'c)x=Dcc'(s-s')$$を得る。ここで $sc'-s'c=-\sin(\theta'-\theta)$ だから$$\boxed{x=\frac{D}{a}cc'\frac{s'-s}{\sin(\theta'-\theta)}=\frac{a^2-b^2}{a}\cos\theta\cos\theta'\frac{\sin\theta'-\sin\theta}{\sin(\theta'-\theta)}}.$$
(3) $\theta'=\theta+h$ とすると、(2)の式と三角関数の極限から$$\lim_{h\to0}x=\frac{D}{a}\cos^2\theta\lim_{h\to0}\frac{\sin(\theta+h)-\sin\theta}{\sin h}=\frac{D}{a}\cos^3\theta.$$また、第1式に $s'$、第2式に $s$ を掛けて差をとると$$-b\sin(\theta'-\theta)y=Dss'(c-c')$$となるので$$y=\frac{D}{b}ss'\frac{c'-c}{\sin(\theta'-\theta)},\qquad \lim_{h\to0}y=-\frac{D}{b}\sin^3\theta.$$したがって$$\boxed{R\left(\frac{a^2-b^2}{a}\cos^3\theta,-\frac{a^2-b^2}{b}\sin^3\theta\right)}.$$
(4) $a=2,b=1$ のとき $D=3$ だから$$x=\frac32\cos^3\theta,\qquad y=-3\sin^3\theta.$$よって$$\frac{dx}{d\theta}=-\frac92\cos^2\theta\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=-9\sin^2\theta\cos\theta.$$区間では $\sin\theta,\cos\theta>0$ なので、曲線の長さは$$\begin{aligned}L&=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=\frac92\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\theta\cos\theta\sqrt{\cos^2\theta+4\sin^2\theta}\,d\theta\\&=\frac92\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sin\theta\cos\theta\sqrt{1+3\sin^2\theta}\,d\theta.\end{aligned}$$$$L={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2}d\theta$$$$=\frac{9}{2}{\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\sin \theta \cos \theta \sqrt{{\cos }^2\theta +4{\sin }^2\theta }d\theta$$$$=\frac{9}{2}{\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\sin \theta \cos \theta \sqrt{1+3{\sin }^2\theta }d\theta .$$ここで $u=1+3\sin^2\theta$ とおくと $du=6\sin\theta\cos\theta\,d\theta$、端点では $u=\frac74,\frac{13}{4}$ である。したがって$$L=\frac34\int_{7/4}^{13/4}\sqrt{u}\,du=\frac12\left[ u^{3/2}\right]_{7/4}^{13/4}=\boxed{\frac{13\sqrt{13}-7\sqrt7}{16}}.$$