5神戸大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1)

被積分関数は偶関数なので、
$$f(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{du}{1+u^{2}}$$
である。$u=\tan\theta$（$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$）と置換すると $\dfrac{du}{1+u^{2}}=d\theta$ なので、$f(x)$ は $\tan\alpha=x$、$0\leqq\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす角 $\alpha$ に等しい。
したがって、$0\leqq\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ のとき $f(\tan\alpha)=\alpha$ である。

(2)

$x\geqq0$、$y\geqq0$ の範囲で考える。$f(x)=\alpha$（$\tan\alpha=x$、$0\leqq\alpha<\dfrac{\pi}{2}$）とおく。$f(1)=\dfrac{\pi}{4}$ なので、条件は $f(y)\leqq\dfrac{\pi}{4}-\alpha$ である。$f$ は増加関数で、その逆の対応は、角 $\gamma$（$0\leqq\gamma<\dfrac{\pi}{2}$）に $\tan\gamma$ を対応させるものであるから、
$$0\leqq y\leqq\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=\dfrac{1-\tan\alpha}{1+\tan\alpha}=\dfrac{1-x}{1+x}.$$
したがって領域は、単位正方形の中で、曲線 $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ の下側かつ $x$ 軸の上側にある部分である。すなわち $0\leqq x\leqq1$、$0\leqq y\leqq\dfrac{1-x}{1+x}$ である。

面積は
$$\int_{0}^{1}\dfrac{1-x}{1+x}\,dx =\int_{0}^{1}\left(-1+\dfrac{2}{1+x}\right)dx =2\log 2-1.$$
境界 $y=\dfrac{1-x}{1+x}$ の下側を積分して、面積 $2\log 2-1$ を得る。